轉化與化歸思想方法及應用舉例

摘要：在立體幾何中，與體積、表面積等相關的很多問題也可以進行轉化，達到化繁為簡的目的。對相關題目的分析和對比解答，展示了不同的思維方法和思維習慣下題目分析思維和解答過程步驟的繁簡程度，解答的分析和對比旨在突出轉化與化歸思想方法的優越性。

關鍵詞：幾何體;體積;表面積;轉化與化歸;應用途徑;轉化方法

數學思想和數學方法的理解掌握與熟練應用，既是解決數學問題的有力工具，又是體現數學素養和解題基本功的重要途徑。轉化與化歸思想方法是最常用的數學思想方法之一，滲透在數學教學中的方方面面。在日常教學過程中，教師結合教學進程和教學內容，針對不同的問題和情境引導學生進行及時和恰當的轉化，可以使問題轉化為熟知和簡單的數學問題，使問題得到快速、有效的解決。學生可以從最初的機械模仿到理解掌握，進而走向熟練應用，形成良好的思維分析習慣，以提升解決問題的能力。

在立體幾何中，與幾何體的體積、表面積相關的問題是一類常見的重要問題，有些問題盡管可以用多種方法解決，但是針對不同空間幾何體的形狀特點和已知條件，有的問題可以進行一些特殊的思維轉化處理，這樣不僅可以有效減少學生的計算量，提高解題速度，而且還可以提高解題正確率。學生通過教師的引導與示范，動腦、動手進行對比反思，在比較的基礎上產生自己的思維傾向性并形成習慣。下面，筆者通過舉例分析一部分與空間幾何體體積、表面積相關的問題，展示轉化與化歸思想方法在多面體中的應用途徑和轉化方法。

題型一：利用幾何體體積（或面積）相等進行的轉化

例1 如圖1，在長方體A BCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA，=2，求三棱錐ArABiDi的體積V和點A1到平面AB1D1的距離d。

方法1：直接求解。

直接求解，求三棱錐A1-AB1D1的體積，需要分別求△AB1D1的面積和點A1到平面AB1D1的距離。觀察分析后，可以取B1D1的中點0，連接OA，OA，過點Ai作A1H⊥A0于點H（如圖2），易證平面AB1D1⊥平面A1AO。由面面垂直的性質定理，得A1H⊥平面AB1D1，所以A1H即為點A1到平面AB1D1的距離。

方法2：轉化求解。

我們知道，三棱錐可以以四頂點中的任何一點作為頂點，其余三點確定的面為底面。以不同面為底面的三棱錐的體積和表面積是完全不變的，由此可以得到三棱錐的體積、表面積和距離等問題中最常使用的“等體積法”。

方法2用“等體積法”或“等面積法”進行了一個小的轉化，既不需要作輔助線，又使問題得到了簡化，減少了計算量，由此可以看出及時應用幾何體特性對問題進行合理轉化的重要性。

題型二：運用幾何體部分和整體的關系進行的轉化

例2 如圖3，已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC =2，求此三棱錐的體積V。

方法1：直接求解。

此種解題方法思路不復雜，但是過程中輔助線較多，也需要進行不少的位置關系的判斷與證明，以及用到圓內接三角形的一些性質及數量關系。

方法2：轉化求解。

在方法1的通法基礎上，我們可以再考慮一下題目中的數量關系和位置關系：△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球D的直徑，且SC=2，點0在SC上，SC= 20C（如圖3），所以三棱錐S-ABC的體積等于三棱錐O-ABC的體積的2倍，所以我們只要求出三棱錐O-ABC的體積VO-ABC就可以了。

三棱錐O-ABC恰好是邊長為1的四面體，容易求出邊長為1的正四面體的體積為√2/12，所以V=2V0-ABC=2×√2/12=√2/6。

此種方法是在觀察出特殊數量和位置關系的基礎上，找出其內部關聯，從而將求一般幾何體的體積轉化為求特殊幾何體的體積問題。

題型三：運用線面平行距離相等進行的頂點轉化

例3 如圖5，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為線段AA1，B1C上的動點，求三棱錐D1-EDF的體積。

我們可以看到，三棱錐D1-EDF的三個頂點D1，E，D都在正方體左側面A1ADD1內，因此求三棱錐D1-EDF的體積可以轉化為求三棱錐F-D1ED的體積問題。點E盡管為線段AA1上的動點，但是AA1∥DD1，所以△EDD1的面積始終為定值，即等于正方形AiADDi面積的一半。點F為線段B1C上的動點，因為B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1ADD1，即B1C∥平面D1ED，所以B1C上的所有點到平面DiED的距離都是相等的，因此我們不妨取點F與點B1重合時進行計算，而B1A1⊥左側面A1ADD1，所以V Dl-EDF= V F-D1ED= V B1-D1DKD=1/3×1/2×1=1/6。

由上述方法可以看出，此題的求解過程中進行了兩步轉化，通過轉化將已知三棱錐的體積轉化為幾何體中特殊的三棱錐的體積問題，使底面積和高都變得簡單易求。

題型四：與變量有關的函數問題進行的轉化

例4 如圖6，在三棱錐S-ABC中， SA=SB=AC=BC=2，AB=2√3，求三棱錐S-ABC的體積V的最大值及此時SC的長。

方法1：直接求解。

在此題中，如果不關注步驟因素的話，我們可以從純幾何問題的角度來考慮。取AB的中點D，連接SD，DC，作SH⊥DC于點H（如圖7），得SH為三棱錐S-ABC的高。由SH≤SD，三角形ABC的面積為定值可以得到，當SH=SD時，三棱錐S-ABC的體積可以取得最大值，所以

純幾何的方法處理起來比較生動、形象，可以根據動點運動變化的極限狀態，直接得到題目所需要的最值結果。

方法2：轉化求解。

除觀察分析之外，我們還可以采用將幾何問題中的變量轉化為函數方法來處理。

在實際問題中，需要先確定好變量x，將待求目標變量表示為x的某種形式，問題就可以轉化為根據函數形式選擇適當的求最值的方法（如二次函數的方法、基本不等式法、單調性法或換元法等）來求其最值，并通過最值條件還原得到此時變量的值。

題目是載體，思維方法是靈魂。同為化歸與轉化思想，在不同的學習內容中，常有不同的應用特點和不同的思維習慣。因此，在教學過程中，教師只有幫助學生不斷經歷思考和動手過程，才會使學生在總結、反思的基礎上逐漸形成經驗。筆者僅對一部分具體的與體積、表面積相關問題進行對比解析，旨在展現幾種問題中的化歸與轉化的思維過程及應用技巧。在日常學習過程中，只有多角度、多層次地不斷積累，才能使學生真正在應用中形成能力，培養有自己特點的思考問題和解決問題的好習慣。

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