選擇方案問題教學案例

本文圍繞兩道選擇方案問題進行具體分析，經歷分析實際問題的數量關系，確定選擇方案的過程，培養學生分析問題、解決問題的能力，滲透多思少算和數學建模的思想方法.

一、教學課堂實錄

問題1.某移動公司開設了A，B兩種通信業務：

A.“全球通”：月租費50元，每分鐘話費是0.4元；

B.“神州行”：無月租費，每分鐘話費0.6元（通話均指市內通話）.

（1）若每月通話時間為200分鐘，哪種方式合算？

（2）若每月通話時間為300分鐘，哪種方式合算？

（3）該如何選擇更合算？

【分析】本題選擇通信方式的問題，一共有3個問題，問題（1）（2）中通話時間是具體數值，通過計算可以得到解答.

（1）通話時間是200分鐘時，方式A：130元，方式B：120元，所以方式B合算.

（2）通話時間是300分鐘時，方式A：170元，方式B：180元，所以方式A合算.

經過前兩個問題的鋪墊，由特殊到一般，到第（3）問：該如何選擇更合算？

教師引導學生：你能否預先估算一下，如何選擇更合算嗎？

這樣提問的目的是為了培養學生在解決實際問題時，嘗試進行“事先預估，多思少算”的思維方式，對如何選擇方案做一個預先的判斷.

通過前兩問的計算我們發現，通話時間分別為200分鐘、300分鐘時，最合算的方式分別為方式B、方式A，而且費用差值均為10元，由此我們可以估算：通話時間為250分鐘是一個分界點，即通話時間為250分鐘時，方式A，B費用相同，通話時間少于250分鐘，方式B合算，通話時間多于250分鐘，方式A合算.

【設計意圖】生活中我們遇到實際問題的時候，往往利用估算選擇最后結果.當我們在引導學生進行預估的時候，實際上就是嘗試把實際問題由繁化簡的過程，這個過程，培養了學生分析問題、解決問題的能力，讓學生體會到數學的實用價值.

通過估算預先判斷，下面教師引導學生用函數知識解決實際問題.

經過分析可知，費用與通話時間有關，下面通過設變量，找對應關系，列出相應的函數關系式.

設方式A費用為yA元，方式B費用為yB元，通話時間為x分鐘，

則yA=0.4x+50（x≥0），yB=0.6x（x≥0）.

至此，我們把實際問題轉化為函數問題，比較方式是否合算，就相當于比較函數值大小的問題了.

方法1：代數法

函數值yA和yB的大小關系分為三種情況：

①當yA250；

②當yA=yB時，0.4x+50=0.6x，解得x=250；

③當yA>yB時，0.4x+50>0.6x，解得0≤x<250.

通過計算結果，我們可以知道：當通話時間超過250分鐘時，方式A合算；當通話時間等于250分鐘時，方式A，B均可；當通話時間少于250分鐘時，方式B合算.

以上過程，我們為了比較哪種方式更為合算，也就是比較函數值大小的時候，利用分類討論的思想，分別令yAyB，把函數問題轉化為解方程、不等式的問題，求得函數問題的解，最后聯系問題實際，得到最合算的方案，這是第一個方法——代數法.

比較函數值大小的時候，還有沒有更直觀的辦法？

方法2：圖像法

通過作出函數圖像，比較函數值的大小的關鍵在于：確定x的值后，觀察圖像的高低，得到函數值的大小.根據圖像法，利用數形結合的思想，可以直觀比較出函數值的大小，確定出最合算的方案，這是第二個方法——圖像法.

課例賞析

【設計意圖】通過問題1，教師引導學生歸納研究實際問題的方法：先預估，再研究，即首先思考能否估算出最佳方案，之后再利用數學知識驗證解決.應用函數知識解決方案問題的一般步驟是：從實際問題從發，通過設變量，找對應關系，把實際問題轉化為函數問題，這個過程就是建立函數模型的過程；通過比較函數值的大小，求得函數問題的解；最終聯系問題的實際意義，得到實際問題的解.這個過程既鍛煉了學生“多思少算”的意識，又培養了學生應用函數知識，利用分類討論、數形結合的思想，嚴謹解決問題的能力.

問題2.一家游泳館的游泳收費標準為15元/次，若購買會員年卡，可享受如下優惠：

例如，購買A類會員年卡，一年內游泳20次，消費50+10×20=250元。若一年內在該游泳館游泳的次數介于45至55次之間，請選擇一種最省錢的方案.

【分析】這是生活中的一個實際問題，教師首先引導學生，你能預估出哪種方案更為合算嗎？通過讀題發現：一年內在該游泳館游泳的次數介于45至55次之間，因為問題具有特殊性，所以可以采用特殊值法，例如令游泳次數為50次，依次計算出每種方案的費用.

令游泳次數為50次，則

不辦卡：15×50=750元；

辦A類卡：10×50+50=550元；

辦B類卡：5×50+150=400元；

辦C類卡：3×50+230=380元.

通過比較得到辦理C類會員年卡最省錢.

【設計意圖】代通過特殊值代入法，向學生滲透“多思少算”的思維方式.通過簡單快速的計算，就把一道復雜的實際問題由繁化簡，巧妙地得到解決.

下面引導學生用函數知識去解決實際問題.

通過分析，費用與游泳次數有關，所以設一年內在該游泳館游泳的次數為x，設不辦卡消費y0元，購買A類會員年卡消費yA元，購買B類會員卡消費yB元，購買C類會員卡消費yC元，則

y0=15x，

yA=10x+50，

yB=5x+150，

yC=3x+230.

至此，我們把實際問題轉化為函數問題，比較哪種方式合算，就相當于比較函數值的大小.教師進一步提問：比較函數值的大小有幾種方法呢？運用代數法，還是圖像法呢？通過這樣的提問，教師引導學生比較代數法、圖像法的優缺點，靈活選擇方法比較函數值大小.

我們發現：運用代數法兩兩比較，分類討論的情況比較多，計算量大，所以采用圖像法.

畫出圖像，讓學生觀察思考：隨著游泳次數x從0開始增大，最省錢的方案分別是什么？在哪些位置發生變化？

通過提問，教師讓學生發現最省錢的方案對應函數值最小，即對應函數圖像最下方的部分.隨著游泳次數x從0開始增大，最省錢的方案依次為y0，yA，yB，yC，通過聯立方程，求出三個交點橫坐標，發現45至55次之間，辦理C類會員年卡最省錢.

當遇到多個方案進行比較時，圖像法是幫助我們分析問題的一種非常好的途徑，通過圖像可以非常直觀地得到最佳方案.

二、教學反思

本文研究的是實際問題中的選擇方案問題，重點向學生滲透解決實際問題的研究方法：先預估，再研究.在估算的過程中，發散學生思維，把復雜的實際問題簡單化，讓學生領悟到“多思少算”的巧妙，體現了思維的靈活性.在預估之后，引導學生再應用函數知識，利用分類討論、數形結合的思想加以分析說明，讓學生經歷分析實際問題的數量關系確定選擇方案的過程，培養其分析問題、解決問題的能力.