有關(guān)《平行線的判定》教學(xué)引入的思考

北京市學(xué)科帶頭人，北京市海淀教師進(jìn)修學(xué)校數(shù)學(xué)教研員，北京市規(guī)劃課題“基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)研究”負(fù)責(zé)人，參與多項國家級、市級科研課題研究；北京師范大學(xué)訪問學(xué)者及高精尖項目外聘專家；國培計劃主講教師；參與北京市九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材及教參第十七冊編寫工作；《中考數(shù)學(xué)專項練習(xí)》《中考數(shù)學(xué)實戰(zhàn)演練》主編；多篇論文及課例榮獲國家級、市級一等獎；多篇文章發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》《中學(xué)數(shù)學(xué)》《中小學(xué)數(shù)學(xué)》等雜志上，部分文章全文轉(zhuǎn)載在《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》雜志上。梁月梁月，北京市海淀實驗中學(xué)教師，榮獲北京市中小學(xué)新任教師第二屆“啟航杯”一等獎；多次參與校級公開課，獲得“優(yōu)秀課堂”榮譽；在學(xué)校組織的“青藍(lán)工程”活動中，榮獲“優(yōu)勝獎”。

一、教學(xué)背景

《平行線的判定》位于人教版數(shù)學(xué)教材七年級下冊第五章第二節(jié)第二小節(jié)的第一課時，是第五章《相交線與平行線》的重點內(nèi)容，是圖形與幾何領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，更是今后學(xué)習(xí)其他幾何知識的前提和基礎(chǔ)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確要求第三學(xué)段的學(xué)生應(yīng)該“理解平行線的概念；掌握基本事實；探索并證明平行線的判定定理”。

公理是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，是不需要證明的真命題。教材中把“公理”換成了“基本事實”，就是把深奧的理論換成一種通俗易懂、大眾化的表達(dá)，以便于學(xué)生理解及接受。雖然基本事實不需要證明，但可以啟發(fā)學(xué)生通過大量操作、直觀感受來探索結(jié)論的合理性。定理是根據(jù)一定事實依據(jù)經(jīng)過推理證實的真命題，并可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)。圖形的判定討論的是確定某種圖形需要的條件，本節(jié)課中的同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補正是確定兩直線平行的條件。

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“三線八角”、平行線、平行公理及推論的基礎(chǔ)上的繼續(xù)學(xué)習(xí)，為后續(xù)平行線的性質(zhì)提供了條件和范式，起著承前啟后的作用，同時為三角形、四邊形甚至高中階段的立體圖形的學(xué)習(xí)做鋪墊。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將加深對“角與平行線”的認(rèn)識，建立空間觀念，發(fā)展思維，并能在活動的過程中交流分享探索的成果，體驗成功的樂趣，提高運用數(shù)學(xué)的能力。

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點確定為：探索并掌握平行線的判定方法。

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“三線八角”、平行線的定義，平行公理及推論等基礎(chǔ)知識，具備了過直線外一點作已知直線的平行線的能力，在第四章《幾何圖形初步》的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)對幾何圖形有一定的自主探究能力，但對角的數(shù)量關(guān)系和直線的位置關(guān)系仍不能建立聯(lián)系。此外，學(xué)生對基本事實、判定等數(shù)學(xué)術(shù)語并不理解，對數(shù)學(xué)邏輯推理及符號語言的表述有所欠缺，所以處理好基本事實的呈現(xiàn)和定理的得出就成為教學(xué)的一個難點。

從年齡特點來看，這個年齡階段的學(xué)生好動、好表現(xiàn)，教師抓住學(xué)生特點，積極采用形象生動、形式多樣的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，促進(jìn)學(xué)生個性發(fā)展。所以本節(jié)課通過動手實踐、動手操作，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，了解數(shù)學(xué)基本事實。

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點確定為：探索得到“同位角相等，兩直線平行”。

教學(xué)設(shè)計

三、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本節(jié)課的課型特點，按照課標(biāo)要求，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平的年齡特征，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）掌握平行線的判定方法，能夠結(jié)合圖形說出平行線的三種判定方法，并應(yīng)用其解決簡單的問題；

（2）通過培養(yǎng)學(xué)生“觀察—分析—歸納—概括”的能力，進(jìn)一步發(fā)展推理能力和有條理表達(dá)的能力，體驗歸納和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；

（3）通過學(xué)生間的交流、探索，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和求知欲望，體驗數(shù)學(xué)活動是充滿探索與創(chuàng)造的過程，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

學(xué)習(xí)重點、難點如下：

（1）重點：探索并掌握平行線的判定方法。

（2）難點：探索得到“同位角相等，兩直線平行”。

四、教學(xué)活動

1.課前引入

活動1：什么是平行線？

師生活動：學(xué)生回顧平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。教師在黑板上畫兩條直線，讓學(xué)生判斷兩直線是否平行。

師追問（1）：怎么判斷兩條直線是平行的？

師生活動：學(xué)生立刻想出可以利用平行線的定義來判斷兩直線平行。教師提示學(xué)生首先考慮直線的無限延伸性，再利用平行線的定義進(jìn)行想象、判定，在遙遠(yuǎn)的地方是否有交點？學(xué)生發(fā)現(xiàn)檢驗起來是非常困難的。學(xué)生還可以利用平行公理的推論來判定，但很快發(fā)現(xiàn)缺少與這兩條直線都平行的第三條直線，也不能用來判斷兩直線平行。即這兩種方法都不好用。

師追問（2）：除了以上兩種方法，是否還有其他的方法呢？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考是否還有其他辦法判斷兩直線平行。

【設(shè)計意圖】通過實際問題，學(xué)生先回顧上節(jié)所學(xué)知識，復(fù)習(xí)平行線的定義的同時，發(fā)現(xiàn)無法測定兩直線是否相交，也就不能利用定義來判斷兩直線是否平行。這時，再引導(dǎo)學(xué)生考慮平行公理推論，此時教師只需簡單地追問，就讓學(xué)生弄清問題未能解決，由此引入新課內(nèi)容。

2.探究新知

活動2：上節(jié)課學(xué)習(xí)了過直線外一點作已知直線的平行線的畫法，你還記得是怎么畫的嗎？

師生活動：學(xué)生很快想到上節(jié)課所學(xué)的用三角尺平推。畫平行線的步驟是：一“落”（三角尺的一邊落在已知直線上），二“靠”（用直尺緊靠三角尺的另一邊），三“移”（沿直尺移動三角尺，直至落在已知直線上的三角尺的一邊經(jīng)過已知點），四“畫”（沿三角尺過已知點的邊畫直線）。

師追問（1）：請你思考，在剛才的畫圖過程中，直尺和三角尺分別起了什么作用？

師追問（2）：在剛才的作圖過程中如果沒有直尺可以嗎？

師追問（3）：是不是只要保證了這兩個角相等，這兩條直線就一定是平行的呢？

師生活動：學(xué)生與教師回顧用直尺和三角尺畫平行線的過程，思考每一個工具的作用與價值。在平推的過程中，緊靠直尺的三角尺的邊在平移過程中始終在同一條直線上，即直尺相當(dāng)于截線的作用，三角形的角始終保持不變。

【設(shè)計意圖】在動手操作的過程中，學(xué)生回想過直線外一點作已知直線的平行線的畫法。教師積極與學(xué)生互動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。分析操作過程中使用的每一個工具的作用，使學(xué)生思考在畫平行線的過程中每一個工具的必要性。

活動3：請各位同學(xué)用上節(jié)課使用過的工具（任意三角形）來畫“過直線外一點作已知直線的平行線”。

師追問：畫平行線與角的大小有關(guān)系嗎？

師生活動：學(xué)生動手畫平行線，并互相展示。學(xué)生動手操作過程中，教師提示學(xué)生直線的無限延伸性，并引導(dǎo)學(xué)生觀察畫平行線與角的大小無關(guān)。

【設(shè)計意圖】通過經(jīng)歷不同的操作，讓學(xué)生體會幾何的基本事實，引領(lǐng)學(xué)生觀察操作結(jié)果，豐富學(xué)生的操作經(jīng)驗。

活動4：如圖，請學(xué)生思考平移前后的角是什么位置關(guān)系。

師追問（1）：能否通過兩個角的數(shù)量關(guān)系找出兩直線的位置關(guān)系？你的猜想是什么？

師追問（2）：你能將手中的模型抽象成幾何圖形，并結(jié)合圖形用符號語言表述兩直線平行嗎？

師生活動：師生共同總結(jié)兩直線平行的判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。教師引導(dǎo)學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為符號語言。

活動5：我們再做一個數(shù)學(xué)實驗，一起來驗證我們的猜想吧！

教師活動：教師通過幾何畫板展示同位角的數(shù)量發(fā)生變化時的各種情況，學(xué)生描述兩直線的位置關(guān)系。

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的猜想和歸納總結(jié)的能力。引導(dǎo)學(xué)生將角度的數(shù)量關(guān)系和兩直線的位置關(guān)系建立聯(lián)系。多媒體的運用，不僅可以輔助教學(xué)，激活課堂，更可以突破難點，提高學(xué)習(xí)效益。

活動6：兩條直線被第三條直線所截，除了得到同位角，還有內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角。由同位角相等，可以判定兩條直線平行，那么能否利用內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角判定兩條直線平行？你們有何猜想？

師生活動1：學(xué)生小組討論，得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的猜想，用數(shù)學(xué)語言描述問題并回答，教師規(guī)范板書。教師與學(xué)生共同合作完成判定方法2的簡單推理過程。

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，學(xué)會將圖形語言、文字語言和符號語言互相轉(zhuǎn)化。

師生活動2：學(xué)生小組討論后，提出“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”的猜想，此時教師鼓勵學(xué)生證明自己的猜想，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)行不通時，教師引導(dǎo)學(xué)生重新建立角的數(shù)量關(guān)系和兩直線的位置關(guān)系的聯(lián)系。

師追問：如果同旁內(nèi)角相等，兩直線有可能平行嗎？

師生活動：學(xué)生思考并回答，當(dāng)截線分別垂直于兩條直線時，此時同旁內(nèi)角相等，這兩條直線平行。

【設(shè)計意圖】學(xué)生獨立思考，自主探索出判定方法2和3，培養(yǎng)學(xué)生的簡單推理和歸納總結(jié)能力。教師鼓勵學(xué)生大膽猜想，學(xué)會由未知轉(zhuǎn)化為已知或已解決問題的方法。

3.課堂總結(jié)

（1）通過什么方法得到第一種判定方法？

（2）到目前為止，你學(xué)到了幾種判定兩條直線平行的方法？

（3）三種判定方法之間有什么樣的關(guān)系？

【設(shè)計意圖】借助第三條直線研究兩直線平行的判定方法，將角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩直線之間的平行關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生對已有的過程操作進(jìn)行反思，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和歸納總結(jié)能力。

五、教學(xué)特色

本節(jié)課的最大特點是依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，立足于學(xué)生的認(rèn)知水平來確定適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)目標(biāo)。

通過認(rèn)真研讀、充分利用教材，設(shè)置了遞進(jìn)關(guān)系的問題鏈。基于對基本事實的理解，對操作的分解、分析，將本節(jié)課的教學(xué)活動分為兩個層次。第一個層次：判定方法1的學(xué)習(xí)是通過動手實踐，積累活動經(jīng)驗來歸納基本事實，并將動手操作的過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。第二個層次：由判定方法1通過簡單推理得到判定方法2。當(dāng)學(xué)生提出“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”的錯誤猜想時，教師并不是一帶而過，此時鼓勵學(xué)生大膽證明自己的猜想，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)行不通時，教師引導(dǎo)學(xué)生重新建立角的數(shù)量關(guān)系和兩直線的位置關(guān)系的聯(lián)系，遵循啟發(fā)、引導(dǎo)、探究的原則，培養(yǎng)學(xué)生探究的好習(xí)慣。

內(nèi)容安排從動手操作“畫平行線”出發(fā)，確定每一個使用工具的作用，做到步步有據(jù)，進(jìn)而用兩個角之間的數(shù)量關(guān)系刻畫兩直線位置的關(guān)系，再到平行線的三個判定方法的猜想、探索、證明和運用，逐步展示知識形成的過程，使學(xué)生對“判定”有初步的認(rèn)識，思維層層遞進(jìn)。

六、教學(xué)反思

《平行線的判定》是圖形與幾何領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，更是今后學(xué)習(xí)其他幾何知識的前提和基礎(chǔ)。探索結(jié)論的合理性便成為本節(jié)課的重點內(nèi)容，那么如何設(shè)計課堂的引入才能使學(xué)生理解判定方法1也就成為本節(jié)課的教學(xué)難點。

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，筆者開始時準(zhǔn)備了課上用的學(xué)具：紙板、硬紙條、工字釘，將兩個硬紙條a，c交叉固定，旋轉(zhuǎn)紙條b，提問：將紙條b旋轉(zhuǎn)至什么情況時，紙條a與紙條b是平行的？學(xué)生通過觀察、猜想，很快利用測量的方法就得到了：當(dāng)硬紙條a與硬紙條c的夾角和硬紙條b與硬紙條c的同側(cè)夾角相等時，紙條a與b是平行的。再根據(jù)上節(jié)所學(xué)“三線八角”的知識，可以判斷出“同位角相等，兩直線平行”。

專家提出一個問題：這個環(huán)節(jié)有必要嗎？如果沒有這個學(xué)具行不行？思考良久，筆者設(shè)計的初衷并不是為了設(shè)計而設(shè)計，這個年齡階段的學(xué)生好動、好表現(xiàn)，抓住學(xué)生特點，積極采用形象生動、形式多樣的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。正是抓住了這個特點，筆者才讓學(xué)生們動手操作，一是鍛煉學(xué)生們的動手操作能力，二是為了讓學(xué)生體會兩條直線平行的第一種判定方法的合理性。但筆者經(jīng)過慎重思考后發(fā)現(xiàn)，要利用已有的知識——平推三角尺來確定紙條a與紙條b是平行的也是沒問題的，但紙板比較粗糙，而且紙條的一端或者兩端被固定，在學(xué)生操作的過程中誤差非常大，所以最后決定取消這個環(huán)節(jié)，改用一個操作起來比較方便的方法引入。

借鑒于第一種思路，筆者采取了誤差比較小的幾何畫板。在幾何畫板上畫出直線AB，CD，EF，直線AB和直線EF的夾角固定，拖動直線CD的另一端進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD旋轉(zhuǎn)至什么情況時，直線AB與直線CD是平行的？學(xué)生們通過觀察、旋轉(zhuǎn)，可以得到：當(dāng)直線AB，EF的夾角和直線CD，EF的同側(cè)夾角相等時，直線AB與直線CD是平行的。但這個很快又被否定了，這種方案容易使學(xué)生混淆兩直線平行的判定和性質(zhì)。

而兩直線平行的判定方法是初中階段學(xué)生們接觸的第一個判定方法，所以這節(jié)課對于學(xué)生的意義很重大。筆者認(rèn)真研讀了教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，重新確立了本節(jié)課的難點：兩直線平行的判定方法1的呈現(xiàn)。判定方法1是基本事實，而基本事實并不需要證明，是人們在長期實踐中總結(jié)出來的。既然不需要證明，那怎么才能讓學(xué)生去接受并理解呢？這是專家再次提出的問題，不需要證明的基本事實如何讓學(xué)生理解呢？通過上網(wǎng)查資料得知，教材中把“公理”換成了“基本事實”，就是把深奧的理論換成一種通俗易懂、大眾化的表達(dá)，以便于學(xué)生接受并理解。雖然基本事實不需要證明，但教師在教學(xué)中可以啟發(fā)學(xué)生通過大量操作、直觀感受來探索結(jié)論的合理性。于是設(shè)計一個即可以讓學(xué)生可以動手操作，又可以讓學(xué)生容易理解的方法：利用小學(xué)已有的平行線的畫法經(jīng)驗，使學(xué)生利用直尺和三角尺進(jìn)行平推，為使學(xué)生充分感受基本事實，讓學(xué)生利用三角尺的各個角進(jìn)行平推。

這個引入得到了各位老師的認(rèn)可，但是并沒有做到“大量”，三角尺有30°，45°，60°，90°角，對于這些特殊的角成立，那么非特殊的角也同樣成立嗎？基于此，筆者將引入環(huán)節(jié)又更改為讓學(xué)生任意制作一個三角形，利用三角形的任意一個角進(jìn)行平推，小組再合作交流，互相展示，這樣就做到了“大量”。而這個三角形的角就是起到了“一個角”的作用，實際上也可以通過量角器來完成，但是由量角器、直尺與三角尺三個工具放在一起，學(xué)生們并不好實際操作。

當(dāng)教學(xué)設(shè)計的引入環(huán)節(jié)完成后，專家又給出了全面的分析，這才使筆者意識到，這并不是一節(jié)獨立的課。概念課、命題課等都是有各自的教法的，對此，筆者好像突然明白了自己在講什么，學(xué)生在學(xué)什么。本節(jié)課是命題課教學(xué)，探究的主要內(nèi)容是兩直線平行的三種判定方法，它們分別從同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的角度說明兩直線平行。

最后一步工作是完善，本節(jié)課開篇用畫“過直線外一點作已知直線的平行線”引入，分析作圖過程中使用的每一個工具的作用進(jìn)行展開，探索出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法，通過簡單推理得到兩直線平行的判定方法2和3。學(xué)生可能還提出“同旁內(nèi)角相等”的猜想，此時教師鼓勵學(xué)生大膽證明自己的猜想，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)行不通時，教師引導(dǎo)學(xué)生重新建立角的數(shù)量關(guān)系和兩直線的位置關(guān)系的聯(lián)系，使學(xué)生自主探索出判定方法3。

通過本節(jié)課的講授，筆者發(fā)現(xiàn)教學(xué)中還存在一些問題，比如：在鞏固新知環(huán)節(jié)中，學(xué)生不能有意識地將圖形語言、文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言。原因可能是本節(jié)課是學(xué)習(xí)簡單推理的開端，學(xué)生還沒有形成將三種語言互相轉(zhuǎn)化的意識，沒有養(yǎng)成說理的習(xí)慣。所以在后面的教學(xué)中，筆者需要加強這方面的引導(dǎo)。

以上是筆者在《平行線的判定》這節(jié)課當(dāng)中的一點體會，作為青年教師，如果能夠?qū)?shù)學(xué)教學(xué)的每一節(jié)課都進(jìn)行如此細(xì)致的研究，用心為后續(xù)的教學(xué)做鋪墊，設(shè)計學(xué)生喜歡的教學(xué)環(huán)節(jié)，那么學(xué)生一定可以養(yǎng)成良好的學(xué)科素養(yǎng)，對數(shù)學(xué)也更加感興趣。