溯本求源滲透數(shù)學(xué)思想，融會(huì)貫通發(fā)展數(shù)學(xué)思維

摘 要：數(shù)學(xué)教材體系有兩條基本線索：一條是數(shù)學(xué)知識(shí)，此為明線；另一條是數(shù)學(xué)思想方法，乃是蘊(yùn)含在教材中的暗線。我們?cè)诹⒆銓W(xué)生思維發(fā)展的同時(shí)，要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透。本文重點(diǎn)從數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、歸納思想四個(gè)方面讓學(xué)生在思辨中，獲得數(shù)學(xué)思想的熏染，并將之融會(huì)貫通，促進(jìn)學(xué)生智能和思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化；函數(shù)；歸納；數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把“雙基”擴(kuò)展為“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法的重要性不言而喻。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵所在。

一、巧妙嫁接，發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”這句話說(shuō)明了“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的。數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。

【例1】在教學(xué)人教版五年級(jí)下冊(cè)《異分母分?jǐn)?shù)加、減法》一課后出示：一杯牛奶，小東第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝上一次剩下的一半。小東五次一共喝了多少牛奶？

本題是求五次所喝牛奶的總和 ，一般解法是先把五個(gè)分?jǐn)?shù)通分，等于 ，最終的和是 。顯然，這樣的計(jì)算既繁瑣，又容易出錯(cuò)。如果我們先畫一個(gè)正方形，并假設(shè)它的面積為單位“1”，最后剩下的是 ，從而，把上面的加法計(jì)算題轉(zhuǎn)化為 這樣一道減法計(jì)算題，計(jì)算起來(lái)就容易多了。

可見，利用數(shù)形結(jié)合的方法，不僅使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇妙性和趣味性，而且感受到數(shù)形結(jié)合的直觀性與便捷性。

二、靈活遷移，發(fā)展數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

著名數(shù)學(xué)家雅法卡婭曾指出：“解題就是把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解過(guò)的題。”由此可見，“轉(zhuǎn)化”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要思想方法。轉(zhuǎn)化思想是利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，將難解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解問(wèn)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，利用“舊知”解決“新知”。

【例1】相鄰兩條平行實(shí)線相距1米，小明沿著虛線從1米寬的路中間行走，一直走到盡頭，請(qǐng)問(wèn)小明行走了多少米？

按照常規(guī)思路，我們要先算出每一條虛線的長(zhǎng)度，再求總和，這種方法雖然能算出結(jié)果，但是顯然比較麻煩。我們可以假設(shè)小明不是單獨(dú)行走，而是拿著一臺(tái)一米寬的除草機(jī)，走一米就除掉一平方米的草，這樣，走完圖中的路程就相當(dāng)于將長(zhǎng)10米，寬5米的長(zhǎng)方形地的草全部除掉，也就是將求“路程”轉(zhuǎn)化為先求“面積”。因此，我們先求出這塊地的總面積10×5=50（平方米），再把總面積展開成寬是1米，長(zhǎng)是50米的長(zhǎng)方形，此時(shí)的“長(zhǎng)”即為小明所走的路程，因?yàn)?0÷1=50（米）所以，小明一共行走了50米。

三、縱橫類比，發(fā)展數(shù)學(xué)函數(shù)思想

函數(shù)思想就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合和對(duì)應(yīng)的思想去分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化合理地構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)，使問(wèn)題獲得解決。在小學(xué)階段雖然沒(méi)有出現(xiàn)“函數(shù)”這一概念，但在整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)不滲透著函數(shù)的思想。

【例1】人教版一年級(jí)上冊(cè)課后習(xí)題：哪兩個(gè)數(shù)合起來(lái)是10？

此題的教學(xué)目的不僅只限于使學(xué)生熟練掌握10的組成，而且還可以使學(xué)生初步感知“和”為定值時(shí)兩個(gè)“加數(shù)”之間的一種特殊的函數(shù)關(guān)系。教學(xué)時(shí)，為了適應(yīng)低年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，可先把題目改為填數(shù)題：□+□=10。在教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生填出所有可能的各組得數(shù)后，我們不可就此“收兵退朝”，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的思考：

（1）第一個(gè)□里可以填哪些數(shù)？這實(shí)際上向?qū)W生滲透函數(shù)定義域的觀念。

（2）第二個(gè)□里可以填哪幾個(gè)數(shù)？這實(shí)際上向?qū)W生滲透函數(shù)值域的觀念。

（3）第一個(gè)□里填定一個(gè)數(shù)（如填“2”）時(shí)，第二個(gè)□里可以填哪些數(shù)？這實(shí)際上向?qū)W生滲透單值對(duì)應(yīng)的觀念。

探討這三個(gè)問(wèn)題雖然不屬于原題的范圍，但卻能比較明確地、深入地向?qū)W生滲透函數(shù)的思想。

四、廣泛推理，發(fā)展數(shù)學(xué)歸納思想

歸納既是一種數(shù)學(xué)思維方式，也是一種數(shù)學(xué)思想方法。它是指通過(guò)研究一些簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況，從而得出的一般性的結(jié)論，簡(jiǎn)而言之，就是由特殊到一般的推理方法。歸納分為完全歸納和不完全歸納，鑒于小學(xué)生的認(rèn)知水平，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一般都采用不完全歸納的方法。

【例1】教學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《加法交換律》時(shí)，設(shè)計(jì)一組算式：

43+6○6+43 76+18○18+76 213+34○34+213 325+46○46+325

先讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算并填空，再引導(dǎo)學(xué)生觀察這4組算式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)：“加數(shù)”不變，只是“位置”改變，“和”不變。也就是“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”的運(yùn)算規(guī)律。于是歸納推理出：所有的加法運(yùn)算，都有這樣的規(guī)律，從而得到加法交換律。

我國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)教育專家張奠宙曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)思想方法是自然而平和的，我們不能把活生生的數(shù)學(xué)思考變成一堆符號(hào)讓學(xué)生去死記，以至讓美麗的數(shù)學(xué)淹沒(méi)在形式化的海洋里。”要真正發(fā)揮在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用，需要我們做個(gè)教學(xué)的有心人，認(rèn)真分析和研究教材，統(tǒng)攬教材全局，提高數(shù)學(xué)思想方法滲透的自覺(jué)性，把握滲透的可行性，注重滲透的反復(fù)性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到有效的發(fā)展，以其達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果。

參考文獻(xiàn)

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