利用幾何畫板輔助線性規劃的教學

線性規劃問題，作為高考考試范圍之一的知識，內容簡單且解題思路單一，因此容易被忽略，在教學時僅僅根據考試要求教會學生解題思路即可。在題海戰術下，學生對解決線性規劃問題的方法了如指掌，卻未能真正了解其真正含義。因此，應該改變線性規劃課程的教學方法，注重于學生對線性規劃問題的認識，即注重于向學生展示線性規劃問題最優解的選取過程。而要展示尋找線性規劃問題最優解這一動態過程需要借助多媒體工具，“幾何畫板”是便利又實用的工具。如何在線性規劃課程教學中應用幾何畫板？在以實際問題引入簡單線性規劃問題的相關概念后，向學生講述例題，例題的講述并是不直接教授學生如何解題，而是向學生展示如何在可行域中尋求最優解的過程。這樣可以使學生深入了解最優解的概念，再利用幾何畫板向學生展示線性規劃問題的解題方法。

例1（2018年全國高考新課標I卷文科數學第14題）

一、直觀展示最優解的形成，增強學生的求知欲

在數學發展過程中，數形結合思想始終貫穿其中，很多攻破難題的方法都是通過數形結合打到的，如我國古代的“勾股定理”。圖形計算器的應用，使學生在思考題目時變得更直觀，降低思考問題的難度，從而增強學生求知欲的效果。

（1）讓學生親自用幾何畫板繪制可行域（如圖1）。

（2）構造點A的值，度量A的橫坐標X_{A/subgt;和縱坐標yA/subgt;，計算3xA/subgt; +2yA/subgt;的值（如圖2）。}

（3）在可行域內移動點A，觀察3x_{A/subgt; +2yA/subgt;的變化情況。}

（4）設置懸念，讓學生思考點A在什么位置時，3x_{A/subgt;+2yA/subgt;取得最大值。}

二、展示知識的形成過程

（1）畫出z= -4時的圖象，重點講z=3x+2y為某一定值-4時的所有點組成的圖象。

（2）分別畫出z=0，z=2，z=4，z=6，z=8時的圖象，觀察這些圖象的特點（如圖3）。

（3）得出結論：使z取得定值α的所有點組成了—條直線。

（4）思考問題：當目標函數向上平移時，z的變化情況。

（5）總結：目標函數向上平移時，z的取值不斷增大，到最后一個與可能域的交點處取得最大值。

由此可以展示出知識的形成過程，使學生利用數形結合的思想來思考問題，使問題的解決思路更清晰明了。學生由此可以深入理解解題的原理和思想，而非死記硬背解題的套路和方法。更能為學生示來的深入學習打下堅實的基礎，可以讓學生在課堂中更深入地理解線性規劃問題，掌握最優解等相關概念，發展學生的思維能力，培養學生數形結合的思想。

三、利用變式訓練，實現知識的提升

在知識和基本方法形成后，我們可以設置四個變式訓練，旨在弄清楚“目標函數z= ax+ by中，x，y，的系數a，b對最值的影響”：變式1：agt; O，b gt;O，變式2：agt;O，blt;0，變式3：alt; O，b gt;0，變式4：a

總結：當bgt;0時，向上平移到與可行域的最后—個交點處取得最大值，向下平移到與可行域的最后一個交點處取得最小值;當blt;0時，向上平移到與可行域的最后—個交點處取得最小值，向下平移到與可行域的最后一個交點處取得最大值。另外，a的取值對平移的方向沒有影響。

四、知識分類系統化，實現能力的提升

在幾何畫板輔助教學的過程中，我們只要把例1的約束條件中的“y≤0”改為“y≥0”，即可將封閉的可行域變為開放的，我們就可以去探究開放性可行域的問題了。

z=3x+2y是否存在的最大值和最小值。（如圖4）

幾何畫板引入到課堂教學中，教學效果非常明顯，將抽象的數學語言上升到動態的數學圖形，使抽象問題具體化，學生可以從“形”的角度出發，尋求轉化的方法，進而讓學生更直觀地感知目標函數和約束條件的本質特征。另外，在學生的情感態度方面，大部分學生認為幾何畫板引入后，數學變得容易，變得有趣，數學不像以往那么枯燥了，在學習過程中容易產生好奇心，經過實際操作解決問題后，使得學生的心奇心逐漸向解決問題的強烈欲望過渡，進而提高數學學習的興趣。幾何畫板的優點再多，也只是輔助數學教學的一種手段，大部分的教學形式還是以傳統的為主，兩者是有效結合并不是誰取代誰，將幾何畫板應用到數形結合的數學教學中，是為了讓學生更好地認清數學本質，絕不能單純為了演示而本末倒置，傳統的演算也推導必不可少，絕對不能為了追求教學上的新鮮元素，而忽略了培養數學各種思維能力的教學目標。