初中數學圖形操作題的特點與分類

北京三帆中學 李 林

初中數學圖形操作題是以圖形為載體，通過一系列的測量、計算等活動，獲得猜想，進而推理甚至驗證得出結果的一類數學題，解決這類問題既動手又動腦，能夠有效檢驗學生的創新思維、創造意識和實際操作能力。

一、初中數學圖形操作題的特點

（一）信息量大，注重基礎知識考查

初中數學圖形操作題都是圖文并茂的。首先要對圖形用一些理念或理論進行概念界定、比較，其次對于某些操作還要描述操作的動作和步驟，這使得圖形操作題所蘊含的信息較多，知識傳遞量也在無形中增加。

根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求，中考數學圖形操作題通常考查圖形幾何教學中涉及的圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標這三方面的基礎知識。其中，圖形的性質包含點、線、面、角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規作圖、勾股定理及其逆定理等；圖形的變化包含圖形的軸對稱、平移、旋轉、相似、視圖與投影等；圖形與坐標包含圖形位置、運動與坐標的聯系。

（二）抽象性強，注重能力考查

在圖形操作題中，由于圖形占據了大量信息，形成了較為抽象的關系和空間的形式。此外，加上部分題目信息隱藏，需要學生結合已學知識，在探索、推理及猜想的情況下獲知，更是大大加深了該類題目的抽象程度。圖形操作題中涉及的數學概念上存在抽象性，對于數學方法乃至解題方法的本身也是抽象的，學生在解題過程中，往往需要推理和探索結合并用，才能化解該類抽象問題。

初中數學重視對核心概念的考查，而圖形操作題更突出推理能力、模型思想、應用意識和創新意識的考查，這說明圖形操作題注重能力立意，重點考查學生的推理能力，以及探究并利用所給新知識和模型及時應用甚至進行創新的能力。

此外，近年來的考查越來越多地將空間觀念、幾何直觀、推理能力、應用意識等核心概念進行突出及合并，在解題推理過程中不斷體現。

（三）實踐性強，注重過程考查及關注不同層次學生

初中學生的認知維度分為了解、理解、掌握、靈活運用四層，每年中考數學關于圖形操作的部分有不同體現：選擇填空題中對于學生的認知維度要求較低，只要對定義和定理有了解，或者借助于現場的動手操作就可以完成。而綜合題中對于學生的認知維度要求較高，首先都是給出一個范例，希望學生能仿造這種方法或沿著這種思路進行下去，進而可以對一種簡單或特殊的情形進行解答，這對于大部分學生都是可以完成的。接下來會對問題進行變化，在學生充分理解了方法原理后解決更復雜的問題。在解答后續問題時，相當于給定了一個新的概念，在得到的新概念基礎上進行解答。這種獲得新事物后進行進一步解析推理的做法，充分體現了數學思維養成方式的訓練。該類題既貼近現實，又能夠充分體現數學的思辨價值和科學價值。注重過程的考查，能夠較為全面地檢視學生閱讀理解能力、現場學習能力和分析問題、解決問題的能力。

二、初中數學圖形操作題的常見分類

按照對圖形原狀的改變程度，圖形操作題可以分為四種：不改變原圖在平面內畫出新的圖形稱為作圖類型；不改變原圖在空間內通過折疊方式造出新的圖形稱為折疊類型；改變原圖形狀形成新的圖形稱為分割類型；多個原圖（包含分割后的）通過拼接形成新的圖形稱為剪拼類型。

（一）作圖類型

這種類型的操作題，結果是畫出符合題意的圖形，但是過程是呈現學生的基本尺規作圖，以及平移變換、軸對稱或是中心對稱變換、旋轉變換或位似變換。

例1：如圖，在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE=點B、C、D在直線l上，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：

（1）畫 出 點E關 于 直 線l的 對 稱 點E'，連 接CE'、DE'；

（2）以點C為旋轉中心，將（1）中所得△CDE'按逆時針方向旋轉，使得CE'與CA重合，得到△CD'A。畫出△CD'A。解決下面問題：

①線段AB和線段的位置關系是_______；理由是____；

此題首先是綜合考查學生作圖的能力，（1）考查軸對稱作圖中最基本的點的對稱，按照其要求作圖即可，不會對后面的分析造成阻礙。（2）考查三角形的旋轉作圖，已知旋轉中心、旋轉方向，但是旋轉角是間接給出的，為后續的解題埋下伏筆。只有通過一步步作圖，領會作圖過程中產生的等量關系，結合已知條件中所給出的邊相等可得到等腰三角形這一潛藏答案。之后，通過找到AC的垂直平分線，與以C點為中心、腰長為半徑的弧相交點D',這樣就可以通過內錯角相等，得到線段AB和線段CD'的位置關系是AB∥CD'。

能否根據題目要求準確作圖，是解答該類作圖題及保證后續答案正確性的途徑之一。

例2：(1)觀察發現

如圖(a)，若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小。做法如下：作點B關于直線的對稱點′，連接′，與直線的交點就是所求的點。

再如(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小。做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______ 。

(2)實踐運用

如圖(c)，已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數為60°，點B是弧AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值。

(3)拓展延伸

如圖(d)，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法。

此題所用數學知識是軸對稱作圖，但是它對于學生挖掘潛藏信息，進行了充分的鋪墊。其中對于解題線索的設置，每一步都有跡可循，且具有較強的導向性，這樣在一定程度上消除了學生對于新類型題及新概念出現的恐懼心理。

這種引導學生觀察發現，聯系新舊知識，然后運用拓展的題目能考查并培養學生的閱讀理解能力、現場學習能力，是適合學生認知學習規律的。

（二）折疊類型

這種類型的操作題，其本質就是軸對稱，因為折疊后有重合的部分，那么對應線段、對應角就有相等關系，折痕就是對稱軸。這類題不僅考查學生的動手能力，更能考查學生分析和解決問題的能力。

例3：如圖①，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點A與點C重合，這時DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形（其中一個是原直角三角形的內接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”。

（1）如圖②，正方形網格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請在圖②中畫出折痕；

（2）如圖③，在正方形網格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜三角形ABC，使其頂點A在格點上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；

（3）如果一個三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是__________；

（4）如果一個四邊形一定能折成“疊加矩形”，那么它必須滿足的條件是__________ 。

這道題是以折疊的操作定義了“疊加矩形”，考查并鍛煉了學生的閱讀理解能力、現場學習能力。首先，怎么得到等腰△CBE的？條件是對應點A與C重合，DE為折痕，根據折疊的性質，也就是軸對稱的性質得到折痕DE為對稱軸，也就是AC的垂直平分線。∴AD=DC，∠ADE=∠EDC=90°，∴DE∥BC，進而由平行線分線段成比例定理得出CE=BE，∴△CBE是等腰三角形。短短幾個字隱含了嚴謹的邏輯推理。

其次，得到的矩形與原圖形在邊、角上有什么聯系？不考慮特殊的邊——直角邊，而關注一般邊——斜邊，這樣才能揭示出D、E是中點，而原三角形的邊BC的一半等于矩形的寬，矩形的長等于原三角形的邊BC上的高的一半。進而問題（1）、（2）、（3）才能清晰地得到解決。

折疊類型的圖形操作題都是這樣考查折疊的本質也就是軸對稱的性質，所以在審題和思考解題方法的過程中要挖掘出對稱軸、對應邊、對應角的關系。

（三）分割類型

分割問題一般是先給出特定形狀的圖形，然后根據圖形的特性，要求學生用各種輔助手段對圖形進行分割，實現分割后的圖形滿足某種設定的條件。

例4：以下兩圖是一個等腰Rt△ABC和一個等邊△DEF，要求把它們分別分割成三個三角形， 使分得的三個三角形互相沒有重疊部分，并且△ABC中分得的三個小三角形和△DEF中分得的三個小三角形分別相似。請畫出兩個三角形中的分割線，標出分割得到的小三角形中兩個角的度數。

這道題的條件等腰Rt△ABC和等邊△DEF蘊含著特殊銳角：30°、45°、60°，那么分得的6個相似的三角形就會包含這些銳角，所以可以從角開始嘗試，進行分類討論。若從60°著手，那么等邊三角形就可以用圖形的對稱性先分出一個含60°的直角三角形，再分出等腰直角三角形。進而得到：

有了這一種分割方法，就可以再嘗試從45°著手，得到：

解決該類問題時，要注意利用圖形的對稱性、中點性質、角平分線性質、等腰三角形性質、直角三角形性質、圓的性質以及面積關系等進行分割，要關注邊等、角等的方法并靈活運用分類討論思想。

（四）剪拼類型

剪拼類型的圖形操作題是將圖形按照一定的規則拼接在一起，考查的是學生的觀察分析及推理想象能力。此外，解題過程中，對于學生的判斷能力和認知能力也有一定涉及。通過解決該類型題，學生的基礎知識、對圖形的認識和對特征的判斷可以得到檢驗。解決這類題的時候，利用面積這個不變量是關鍵，而一些模型意識，例如勾股定理證明中的弦圖等也是經常考查的要素。

這道題首先考慮到拼接前的直角邊要成為拼接后正方形的邊，而非直角邊只能在正方形內重合，于是（1）的簡圖是：

因為y≠0，所以，解得（負值舍去）

上述題目是一種新的嘗試，這類問題以數學基本活動經驗為基礎，通過經驗回憶、動手操作、想象、總結等途徑感知圖形的實際變化，考查學生的閱讀理解能力、知識遷移能力、類比猜想能力、數學探究能力、數學創新意識等。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“有效的數學學習活動不能靠單純的模仿與記憶，動手實踐、自主探究是數學的主要學習方式。”所以，這些題可以讓學生在觀察、操作等實踐活動中，進一步認識到數學對于了解和改造周圍世界有巨大作用。