一些含5階群的生成關系

李德樂 林立

【摘要】本文通過群的同構分類的觀點，分析了60階以下5階群的生成關系。

【關鍵詞】有限群 同構分類 生成關系

【Abstract】In this thesis， we concretely analyze the generated relations by isomorphic classification of finite groups of lower orders（less than 61 orders ）.

【Keywords】Finite group；Isomorphic classification；Generated relations

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）46-0112-02

引理1：（p，p ，pq結構）1.G的階是p，是循環群，且a =1。

2.G的階是p ，

1）循環群，a =1，

2）初等交換群，a =b =1，ab=ba.

3.G的階是pq，

1）循環群，a =1，

2）非交換群，a =b =1，a ba=ba ，r ≡1（mod q），r≠1，p|q-1.

引理2：（p 階群結構定理）p 階群必交換，或者是p 階循環群或者是（p，p）型初等交換群。

當n=5時，G為循環群。

當n=10，15，25，35，55時，G為交換群。

引理3：（p q階群結構）設G是p q階有限群，p ，q是素數，P∈Sylp（G），Q∈Sylp（G），

1）若p>q則P？茳G，

2）若p

當n=20=2 ×5時

G=

G=

G=（Frobenius-群），

G=（二面體群），

G=（廣義四元群），

當n=50=5 ×2時，

G=

G=

G=，

G=（二面體群），

G=

當n=45=3 ×5時，

G=

G=

引理4：（pqr階群結構）設G是pqr階有限群，p，q，r是素數，且p

G′是G換位子群，|G′|=qr，則（1）不屬于G′的元均為p階元，（2）若M是G的極小生成集，|M∩G′|=？覫，則|M|=2。

當n=30=2×3×5時，

G=

G=

G=，

G=，

引理5：（p q群（p

當n=40=2 ×5時

G=

G=

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

引理6：（60階群結構）設G是60階有限群，P是Sylp5（G），

若P正規，則G有11種互不同構的類型，若P不正規則群G？艿A5。

當n=60=2 ×3×5時

G=

G=

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

參考文獻：

[1]李德樂，曾吉文.《低階群的特征標表 》，廈門大學，2008年6月

[2]賀艷妮，魏貴民.《若干低階群的特征標表》，成都理工大學，2011年5月

[3]陳松良，歐陽建新，李驚雷.《論60階群的構造》，2012年3月第34卷第2期