關于課堂教學中正弦定理證明的引導式探究

陳秀

【摘要】本文從高中數學課堂對正弦定理的學習中引導學生通過構造直角三角形，應用一般化為特殊的思想用三種方法證明了正弦定理，幫助學生理解和更好的應用定理。

【關鍵詞】正弦定理的證明 向量法 外接圓

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）46-0111-01

正弦定理是普通高中課程標準實驗教科書數學人教A版必修5[1]第一章第一節的主要內容，是反應三角形中邊角關系的重要定理，是解決可以轉化為三角形計算模型的一些測量、設計等實際問題的重要手段。在學生已經具備平面幾何知識、解直角三角形、任意角的三角函數概念和平面向量等知識的基礎上學習本節課內容，學生已經具有一定的觀察、分析以及解決問題的能力但是對知識的遷移能力還尚不足，因此有必要引導學生發現并嘗試證明這個定理，實現知識的有效融合，提高課堂教學的有效性[2]。

正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 = = .

一、作高法

學生初中已學解直角三角形，引導學生從最熟悉的直角三角形中發現正弦定理。

①在RtΔABC中， sinA= ，sinB= ，sinC=1= 。

所以，C= ，B= ，C=

從而，在RtΔABC中，有 = = .

②在銳角三角形中，引導學生將銳角轉化為直角，即作高，

同時注意尋找三角形中未被破壞的元素。

在銳角ΔABC中，作邊BC上的高是AD，有AD=csinB，AD=bsinC。

由此，得 = ，

同理可得 = ，

故有 = = ，從而這個結論在銳角三角形中成立。

③當ΔABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據銳角三角函數的定義，有CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。

由此，得 = ，同理可得 =

故有 = = .

綜上，在ABC中， = = 成立。

從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即 = = .

二、外接圓法

在△ABC中，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結BO并延長交圓于C′，設BC′=2R.

根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可得∠BAC′=90°，∠C =∠C′，

∴sinC=sinB′= ，∴ =2R

同理，可得 =2R， =2R.

∴ = = =2R.

從而，對于任意的三角形，我們有 = = =2R

三、向量法

向量是解決數學問題的重要工具，可利用向量的數量積來證明。

在△ABC中， 作邊BC上的高是AD.

∵AD⊥BC，∴ · =0

又 · = ·（ - ）= · - ·

=| |·b·cos（ -C）-| |·c·cos（ -B）=0

所以b·sinC-csinB=0

從而 = ，同理可證 =

故有 = = .

以上給出了正弦定理的三種證明方法，雖然每種證明方法利用不同的數學知識，但是仔細觀察會發現有一條紐帶一直聯系在正弦定理的各種證明方法之間，這條紐帶就是：構造直角三角形。從這其中我們可以發現直角三角形它那不可替代的特殊作用。這里蘊含了重要的數學思想：把一般的問題特殊化，通過對特殊情況的研究，從而推導出一般結論。另一個方面，任何問題都是建構在學生已學的知識之上的，引導學生學會用已學的知識解決新知識的問題。從教學實際上來看，我們可以從知識的最近生長點即三角函數與解直角三角形來引入解斜三角形，因此雖然作高法并不是最簡單的證明，但它更符合學生的認知水平，而且正弦定理最終是為解三角形實際問題服務的，讓學生從解決實際問題入手，能培養學生實際應用能力，正是基于從這個角度的思考，在實際上課的過程中，使用這種方法引入，可能更容易被學生接受。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學必修5（人教A版） [2]普通高中數學課程標準（2017年版）