小學數學“烙餅問題”表征模型的比較與反思

李婷 盧建川

摘 要：在小學數學“烙餅問題”的教學研究中，通過幾類表征模型的比較與教學實驗反思，筆者認為教學時應該選擇恰當的表征模型，突破“烙餅問題”的教學難點，引導學生深入探究，使學生對課題內容及問題解決策略有直觀且本質的認識。

關鍵詞：烙餅問題；表征模型；圖形化；符號化

表征模型是學生運用已有的知識經驗，將思考的“情境”用符號、圖形等形式表現出來，對知識加以呈現、組織與表征，是對學生實際操作的補充、細化和強化，是數學思想理解與深化的途徑，可以促進學生解決問題的能力。“烙餅問題”是人教版數學四年級上冊第八章數學廣角《優化》課題的內容，教材通過“烙餅圖”的表征模型引導學生深入探究，得到烙三張餅的最優方案。教研文獻資料顯示，許多一線教師為了突破“烙餅問題”的難點，嘗試簡化教材的表征模型，進行教學重構。

筆者通過小學數學“烙餅問題”幾類表征模型的比較，進行了教學實驗，發現這些表征模型依舊不能很好地突破“烙餅問題”，也不能遷移解決更復雜的情境問題。因此，筆者認為選擇恰當的表征模型，注重啟發式思維尤為重要。

一、“烙餅問題”幾種常見表征模型的分析

1. 教材中直觀化的表征模型

人教版教材“烙餅問題”由情境圖引入，即一個平底鍋，每次只能烙兩張餅，每面都要烙，每面需要3分鐘。問：要烙三張餅，怎樣才能盡快吃上餅？

通過直觀形象的“烙餅圖”表征模型，展示烙三張餅的最優方案（圖1）。

教材“烙餅圖”是最貼近問題原型的直觀化表征模型，用大圓表示平底鍋，1、2、3號小圓分別表示三張餅，正、反兩面由不同顏色構成；主要通過在“烙餅”過程中，如何合理安排操作最節約時間，促使學生在解決問題中體會優化思想。然而，在教材的表征模型中，由于圖形符號表征的不一致性，會干擾學生對問題要素的認識。筆者對此稍做改動（圖2），使得學生對“烙餅”有更直觀的認識，能夠感知“烙餅”的詳細過程，探究烙更多張餅的規律。“烙餅圖”的表征模型也僅能得知“餅”的正、反面以及“烙餅”的過程，不能表現烙每面餅的時間要素，因此從中獲取的解題策略并不能很好地遷移到更復雜的情境問題中。

2. 三類圖形化與符號化的表征模型

（1）文獻1在“烙餅”的探究過程中，逐步優化操作環節，通過1張、2張，滲透“滿鍋”的思想，不斷修正，建立數學模型，選取最優的組合方式。

烙三張餅時，通過基本烙法進行對比，選擇最優烙法（圖3）：

此表征模型是基于教材“烙餅圖”，采用直觀實物模型，將其抽象分離，簡化表征，分層次地進行最優方法的探索。文中對不同的烙法進行分類、組合，構建具體而形象的表征模型，使學生進一步體會優化思想的運用。

（2）文獻2由教材情境引入，由簡及繁，從易到難，探究過程從簡單問題入手，尋找復雜問題的解決策略：

①教師由“烙兩張餅”的問題引入，畫出如下表征模型：

②再研究“烙一張餅”的問題：（位置空著時用“0”表示）

③于是研究“烙三張餅”的問題：（位置空著時用“0”表示）

此表征模型將“烙餅問題”簡單圖形化，把時間要素融入圖形，每次烙餅的時間，即烙每面（3分鐘）為結點，類似“樹狀分支”，從結點處分離兩支，滿足一次能烙兩張餅。在上述模型中進一步抽象分離，由實物到圖形，實現“烙三張餅”即“2+1”的簡單疊加，然后進行優化，使學生理解優化的目的是節省時間，盡量不要讓另一個位置空余。

（3）文獻3直接從“烙餅”的難點考慮，即餅數是單數時，如何整體把握，合理的搭配組合，“保證每次鍋里也能烙兩張餅”時才最省時間；用三角形（圖7）從整體構建符號化表征模型，實現三張餅“兩兩組合一次”。即第一次烙A和C，第二次烙C和B，第三次烙B和A，共用3×3=9（分鐘）。

此表征模型僅為了突破“烙餅問題”中烙三張餅最優方案的教學難點，通過“兩兩組合”的三角形整體符號的表征模型，看似簡單；可基于小學生的認知特點和已有知識經驗，學生缺乏抽象邏輯推理能力，他們的思維更多具體直觀，需要憑借具體形象模型的支撐。這顯然不利于學生對“烙餅問題”有更直觀的認識，但文獻③從大局、整體把握，合理搭配組合“烙餅”，筆者認為有可供參考之處。

二、教學實驗與表征模型選擇的思考

1. “烙餅問題”的教學實驗

筆者在“烙餅問題”的實驗課中進行測試，有習題如下：“烤面包時，第一面要烤2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用的烤面包機一次只能放兩片面包，她每天早上吃三片面包，最少需要烤多少分鐘？”

發現學生沿用教材“烙餅圖”的表征模型無法做出正確解答（圖8），也并不能夠選擇上述幾類表征模型求解。

圖形化與符號化的表征模型雖然突破了常規教學，從實物直觀到圖形、符號的抽象升華，但仍然只是在教材“烙餅圖”的基礎上進行改進，不能夠從本質上突破“烙餅問題”的教學難點，不適合情境遷移，也沒有真正體會優化思想的應用。本人在小學應用題的教學中，由常見“線段圖”的設計思考，可以借助“線段圖”表征模型的直觀輔助，來表征實際問題中的信息。對“烙餅問題”中的“餅”進行整體把握，運用分離組合的思想，建立實物直觀與線段圖直觀的對應，不僅能得知數目及正反面，還能直接反映時間要素。

2. 表征模型的重構

“烙餅問題”是人教版小學數學四年級上冊中的內容，學生隨著年齡增長和經驗積累，會逐漸淘汰掉一些費時且效率不高的表征模型，取而代之的是一些相對高效的表征模型，也就是說一個年齡段的學生擁有相對普遍的表征傾向，而且這種表征傾向隨著年齡的增長會發生質的變化。四年級學生已經對“線段圖”有了一定的認識，能夠利用線段合理表示題意信息，解決實際問題。因此，筆者選擇“線段圖”的直觀表征模型進行教學，并將此運用于上述實驗測試習題中，可以恰當的表示“烙餅問題”的題意信息，探究最優方案。

將每一片“面包”看成一條長線段（這里將會用不同的“仿線段”表示），三片面包分別用三條不同長線段表示，一條長線段即一片面包，每片面包由三條單位線段（單位線段表示1分鐘）組成，即表示烤兩面所花總時間（第一面2分鐘+第二面1分鐘），此時需要注意，烤第一面為其正面，需要烤2分鐘，烤第二面為其反面。每一條短線段表示單位時間（即1分鐘）。題中需要烤三片面包（圖9）：

將“面包”內化成“線段”，用不同的“仿線段”來表示不同的面包，即長線段的條數代表面包的片數，長線段由短線段組成，短線段既能反映面包的正反面，亦能反映烤此面所需要的時間。如：烤第一面需要2分鐘，正面所對應的線段長由兩個單位線段“”組成，即兩個單位時間長度。

（1）若烤面包機一次只能烤一片面包，烤三片面包所需時間最長，即如圖10。

（2）若烤面包機一次能烤兩片面包，可將總線段分離組合，即如圖11。“線段圖”圖形的表征模型中，左右反映總時間，上下即同側表示同時性和“烤法”安排。考慮同一個“面包”的正反面不能放在烤面包機上同時“烤”，即相對應的短線段（亦相同短線段）不可上下搭配，應該交替組合，此時可將線段分離再組合，體會優化思想在“線段圖”中的運用。

線段的分離、再組合，不僅是“烙餅問題”表征模型的簡化，也是優化思想的再應用，更是學生啟發式思維的進一步深化！

說明：

文獻1：蘇梅榮，小學數學“優化”教學策略探索——小學數學四上數學廣學“烙餅問題”例談[J]. 新課程研究（上旬刊），2011，（08）：48-50.

文獻2：石榮學，用三角形構造突破“烙餅”難點[J]，中小數學（小學版），2011，（11）：57.

文獻3：張小燕，讓學生觸摸問題的本質——“烙餅問題”的教學重構與思考[J]. 教育科研論壇，2011，（03）：43-44.