在表征中豐富數學概念的認識

陳海勇

摘 要：表征在教學中的運用是為了促進新知的生成，為了構建聯系新知的系統，加深對概念的認識和理解。不同的表征方式之間不一定存在嚴格的先后發展順序，要學會分析已有經驗和認知能力等多元表征對教學的影響，加強表征轉換，幫助學生建立反映概念本質的內在表征，真正實現對知識學習的意義建構。

關鍵詞：概念；多元表征；轉換

美國學者萊許指出：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表述方式——圖像、書面語言、符號語言、現實情景等，也同樣發揮了十分重要的作用。”不同的表征方式之間不一定存在嚴格的先后發展順序，而是應重視它們之間的互相轉換。這成為當前概念教學的共識。蘇教版二年級下冊“有余數除法的認識”作為筆算除法的起始課，筆者在教學中發現學生存在這樣的認知障礙：分有剩余為什么可以列除法算式；怎樣列出形如10÷3=3……1的除法算式；“余數為什么要比除數小”等。如何突破這些障礙，下面以《有余數除法的認識》一課為例，結合概念教學的表征方式進行探討。

一、 把握起點，多元并重，初步感知“平均分時有剩余”的現象

本課學生學習的邏輯起點是二年級上冊表內乘除法的有關知識，在將表內除法的知識遷移到有余數除法時，學生對分有剩余的情況可以列除法算式存有疑惑，認為“沒有分完、不夠分”不屬于平均分。若只用實物操作表征，學生感受就不充分，思維停留在較淺的層面，導致學生機械地識記概念；而如果只用圖像來表征，學生因缺少了生活經驗的支撐而出現程式化的敘述，教學的難度加深。因此，有必要讓學生在多元表征中感知“平均分時有剩余”的現象。

師：同學們，現在有10支鉛筆，分給小朋友，要想每人分得同樣多，應該怎么分呢？

學生動手操作，用小棒代替鉛筆擺一擺。

生1：我是這樣分的，每人分2支，可以分給5人。

生2：每人分5支，分給2人。

教師板書：

生3：每人分1支，分給10人。

師：為什么你們不每人分3支鉛筆呢？

生1：因為每人分3支，還有剩余的，分不完。

生2：因為每人分3支，10支鉛筆不夠分。

生3：因為每人分3支，就不是平均分了。

師：就讓我們動手分一分吧。

師：你能說說這幅圖表示的意思嗎？

生：10支鉛筆，每人分3支，可以分給3個人，還剩下1支。

完成板書：

師：結合圖示和表格，比一比這種分法和前面的兩種分法，你有什么發現？

生：第3種分法不是正好分完的。

師：它們一種是正好分完，一種是還有剩余。除了剛才分的這三種情況，你還能怎么分？

完成板書：

提供學習情景，讓學生經歷動手分一分——實物操作表征，用小棒代替鉛筆——圖像表征，用自己的話敘述——語言表征概念的含義。對于一個數學概念，往往可以通過多元的形式來表征它，即從不同的視角對其本質進行視覺化或體驗化的闡述。如利用圖像進行表征可以更直觀、更形象地表達，在進行視覺化表征的同時，言語表征解釋圖意，也為符號表征——有余數除法算式的得出做好鋪墊。

二、加強轉換，個性表征，讓“有余數除法算式”自然生成

概念教學在幫助學生建立概念多元表征的同時，要根據需要在不同表征之間做出相應的轉換。在多元表征中不能忽視占主體地位的學生，學生作為獨立的個體，對新學習的概念做出表述或者做出定義，也會有獨特的想法。這些具有個性的答案，反映出學生頭腦中對這一知識的表征，有利于教師取得第一手資料，改進教學，實現新的發展。

師：你能用一道除法算式表示擺的結果嗎？

生1：10÷2=5（人）。

生2：10÷5=2（人）。

師：你能把這種有剩余的情況也用除法算式表示出來嗎？在自己的本子上寫一寫。

學生作品展示：

師：同學們很有創意，用不同的方法表示了剩余的“1”，剩下的1支到底寫在哪里？怎么寫呢？

生（急切地）：我知道，是用“……”表示。

師：在商和余數中間有的用“多”，有的用“余”，有的用“剩”，還有的用6個小圓點，你認為哪種表示方法簡捷一些？

生：6個小圓點。

師：6個小圓點好比語文中的省略號，把漢字表示的語言簡化了，它是我們的數學語言。

師：這個“1”叫？

生1：剩余的數。

生2：余數。

生3：平均分時，當有剩余且不夠再分時，剩下的部分就是余數。

師：由10÷3=3（人）……1（支），你想到怎樣的畫面？這道算式表示什么意思？

生1：10支鉛筆，每人分3支，還多出1支。

生2：10表示鉛筆的總數，除數3表示每人分得的支數，商3表示可以分3人，1是余數，表示多出來的1支。

這一環節中，教師引導學生從語言表征轉換到符號表征，學生在闡述除法算式的意義時，完成了從符號表征到情境表征、語言表征之間的轉換，體現了“有余數除法算式”數學化的過程，也反映了意義建構的過程，實現了從更高抽象水平重新認識原有知識和經驗。

三、科學組合，合理表征，理解“余數要比除數小”

在“余數要比除數小”這一知識點教學時，教師大都這樣處理：呈現例題，學生實物操作表征后列出12÷4=3（個）等五道除法算式。提問：比較除法算式中的余數和除數，你有什么發現？學生一眼看出1、2、3都比4小，“順利”得出結論。學生從數據大小比較上感知余數<除數。沒有經歷規律得出的過程，并不能真正理解余數為什么要比除數小這一結論的內在含義。不妨由實物操作表征改為體驗表征，圈一圈，填一填，感知并發現規律。（圖9）

學生在作業紙上完成。

生：9÷4=2（個）……1（根）。

師：如果在這9根小棒上再增加一根變成10根小棒，仍然是每4根擺一個正方形，你能看圖列出算式嗎？出示直觀圖。

生：10÷4=2（個）……2（根）。

師：如果再增加一根變成11根，你能看圖列出算式嗎？

生：11÷4=2（個）……3（根）。

師：如果變成12根小棒呢？出示直觀圖。（圖10）

收集并呈現學生的3種答案：

師：說說你的想法。

（引發討論：余數為什么不能為4？）

生：滿4根又可以擺一個正方形了。

直觀圖變為：

師：那繼續放13根呢？算式是什么？14根？15根？16根？……

學生相互說一說后，再匯報。

9÷4=2（個）……1（根）。

10÷4=2（個）……2（根）。

11÷4=2（個）……3（根）。

12÷4=3（個）。

13÷4=3（個）……1（根）。

14÷4=3（個）……2（根）。

15÷4=3（個）……3（根）。

16÷4=4（個）。

師：照這樣繼續下去，你有什么發現？為什么？

生：余數總是1、2、3。

引疑：為什么余數總是1、2、3而不是其他的數？余數可能是4或5嗎？為什么？

生1（齊聲）：不能，如果余數等于或大于除數，那又可以再拼一個正方形了。

生2：余數要小于除數或者除數大于余數。

追問：用一堆小棒擺三角形，如果有剩余，可能會剩幾根？如果擺五邊形，可能會剩幾根？

對于一個數學概念，往往可以通過多元的形式來表現或記載它。但提高課堂教學效率不單單是多元的表征、個性化的表征，高效、調整傳遞素材信息的關鍵是不同表征的科學組合和呈現。

四、溝通聯系，完整表征，深化對“有余數除法意義”的理解

多元表征之間是相通的，不同形式的多元表征互為驗證、互為補充，它們所要表達的內容與實質是相同的，由此開展開放、完整的教學過程，將學生已有的知識經驗與抽象的概念建立起聯系，引領學生完整地認識概念的本質。

例如，鞏固練習中。

1. 自主設計分物問題，對比建立除法模型。

請用你喜歡的方式表示出分物有剩余和沒有剩余這兩種情況，并列出算式。

2. 根據11÷2=5……1這一道除法算式，請你講述一個故事。

練習中，自主設計平均分物品的問題能幫助學生主動思考，加深對兩種情況及對應除法算式的理解。學生在紙上畫一畫、分一分，通過個性化的表達，鞏固了除法新結構。有學生根據算式用文字表征，清晰地呈現包含除與等分除兩種不同的情況；有學生根據已有的經驗畫出圖像來表示，并能用語言嘗試對概念的內涵做出解釋。

總之，表征在數學中的運用是為了促進新知的生成，為了構建聯系新知的系統，加深對概念的認識和理解。教學中，過于追求表征形式的多樣化，就脫離了知識本質的需要。我們要學會分析已有經驗和認知能力等多元表征對教學的影響，加強表征之間的轉換，幫助學生建立反映概念本質的內在表征，真正引領學生對知識學習的意義建構。