根植緘默知識，指向學生數學學習的深度體驗

李煒玟

摘 要：數學充斥著許多“緘默性知識”，這些緘默性知識需要學生深度體驗。在數學教學中，教師可以創設情境、組織活動、引導反思，讓學生數學學習從感性過渡到知性，從知性上升到理性。讓緘默性知識清晰化、顯性化，積淀、固化為學生個體性經驗，從而不斷提升學生的數學“核心素養”。

關鍵詞：緘默知識；數學學習；深度體驗

美國大衛·庫伯教授在產生全球影響的《體驗學習》一書中提出了“讓體驗成為學習和發展源泉”的教學主張。他認為，“學習是一種基于精心設計的體驗的社會化過程”，這是對傳統的“教學即傳遞”觀念的挑戰。在庫伯看來，體驗不僅是拓展訓練、主題冒險等學習需要，更是學生課堂學習參與的重要機制。數學充斥著許多“緘默性知識”（波蘭尼語），因此需要學生的深度體驗。當下數學教學，學生并不缺少膚淺而零碎的體驗，關鍵是讓學生數學學習體驗走向深刻、豐富，走向結構化、系統化，也就是有意識地將學生導向深度學習體驗。

一、情境體驗，構建“感性課堂”

1. 生活化情境，點燃體驗激情

人民教育家陶行知先生一直倡導“教學做合一”，在他看來，離開生活的教育教學是一種機械的教育教學，數學教學的根基也是生活。在數學教學中，教師應當激發學生學習興趣，點燃學生體驗激情，以數學本體價值引發學生學習覺醒。比如，教學蘇教版三年級上冊的《間隔排列》，教師可以充分運用學生生活中的原型，創設生活化情境，引導學生進行生活化感知。譬如“夾子與手帕”“兔子與蘑菇”“籬笆與木樁”，激發學生數學猜想：誰比誰多1，誰比誰少1。讓學生通過操作、畫圖等活動展開驗證，學生從“物的感知”過渡到“形的抽象”。借助符號表征，讓學生從“形的抽象”過渡到“模的建構”——“┃○┃○┃○……┃○┃”。通過數學模型進行生活化運用。學生在情境中體驗，在格物中致知。知行合一，點燃對數學知識體驗的激情。

2. 故事化情境，激發體驗興趣

作為一種教學手段，故事化情境具有天然的魅力。學生天生愛聽故事，用故事化情境來引導學生判斷，啟發學生頓悟，效果非常好。故事化情境，可以激發學生學習興趣，活躍數學課堂氣氛，開拓學生思維。比如，一位教師教學蘇教版五年級上冊的《解決問題的策略——“一一列舉”》，用“田忌賽馬”的故事激發學生對“策略”的興趣，引發學生主動探究。學生運用分類法，有序列舉六種賽馬對陣方式解決問題。這個過程，有學生是借助文字表達的，有學生是借助圖形表達的，還有學生是借助符號表達的……無論哪一種表達方式，都隱含著“一一對應”的數學思想。故事化情境，將學生帶入一個體驗情境之中。學生咬文嚼字，數學方法在推敲中成型；學生圈畫，數學思考在創意中激發；學生說寫，數學思想在交流中提升。

3. 視聽化情境，渲染體驗氛圍

在數學教學中，教師可以借助現代信息技術媒體創設視聽化情境，渲染學生體驗氛圍。當下，平板、觸摸屏等現代技術媒體已經走入了數學課堂。借助視聽媒體進行教學，能夠讓學生友善用腦、和諧用腦、健康用腦，促進學生數學學習的深度體驗。比如，一位教師執教蘇教版二年級下冊《時、分、秒》一課，運用ipad，巧妙地將“鐘面”和“飛行棋”糅合在一起，設計出一種“特殊的飛行棋”：學生擲骰子，按照骰子點數在ipad上操作，如果走得不正確，棋子回到原位。在“玩骰子”的過程中，學生認識了鐘面有12大格、60小格。接著，教師在“特殊飛行棋”的中心添上兩根針，再添上12個數，這種“特殊飛行棋”就演變成“鐘面”，由此揭示課題。視聽化情境讓學生在“玩中學”、在“學中玩”，形成了對鐘面的深度體驗、認識，實現了學生數學認知、情感體驗及意志表現的有機統一。

二、活動體驗，構建“知性課堂”

1. 直觀性活動，豐盈學生體驗

所謂“直觀性活動”，是指借助數學學具或者教具、畫圖等直觀手段，讓數學知識可視化，讓學生思維可視化的活動。德國哲學家康德曾經這樣說，“概念無直觀則盲，直觀無概念則空”。叔本華也認為，“一切知識的根源不在理性本身，而是從別的方面獲得的直觀認識沉淀于理性之中，直觀是一切真理的源泉，是一切科學的基礎”。數學直觀性活動，有助于豐盈學生數學學習體驗，能夠體現數學本質。比如，教學蘇教版五年級下冊《因數和倍數》，對于例題2“找36的因數”，教師就可以借助數軸，將36的因數直觀展示出來，學生就能直觀掌握因數的找尋方法，即有順序地、一對一對地找。如此，學生就能通過直觀性活動掌握數學知識的本質，領悟數學思想和方法，并逐步走向深刻、智慧。

2. 探究性活動，催生學生體驗

瑞士心理學家皮亞杰認為，數學知識是學生在自己生活經驗基礎上主動建構的。在數學教學中，教師有必要引導學生展開探究性活動，催生學生學習的切身體驗。只有學生通過自主探究而獲得的知識，才能入腦入心、珍藏永久、永不褪色。比如，教學蘇教版四年級上冊《角的度量》，直接出示量角器，告知測量方法，這不是教學；出示量角器，引導學生探究怎樣測量，這就有點教學味；而如果讓學生經歷量角器工具的創生過程，這才是真正的教學。江蘇省著名特級教師強震球執教時，就讓學生從“角的大小比較”過渡到用單位小角去測量，再生發出“1°小角”，最后將這些1°小角串聯起來，生成了一個“量角器雛形”。這樣的探究性活動，能夠催生學生數學學習體驗，引發學生數學發現。學生不僅能夠認識到量角器的結構，更對量角形成了深度理解，即“角的大小就是角包含多少個單位小角”的本質認知。

3. 實踐性活動，發展學生體驗

學生全部的學習過程在本質上是實踐的，實踐性活動是學生數學學習的方式。學生因實踐活動而體驗，因深刻體驗而感悟。實踐活動能夠融學生的感知、記憶、思維、想象、操作、表達等于一體。實踐活動不是學生機械模仿性的活動，也不是被活動，而是積極主動的建構過程，是發展學生數學素養的重要方式。比如，教學蘇教版三年級下冊《噸的認識》，為了形成學生“噸”的表象，筆者設計了豐富的實踐性活動，誘發學生積極主動地參與到數學探索活動中來。（1）拎，拎25千克的一袋大米，說說拎的感受，并推想40袋25千克大米的質量，初步形成“1噸有多重”的感受。（2）聽，聽全班學生齊跳落地的聲音，鞏固學生建立“30名同學齊跳”的感受。（3）看，運用多媒體課件展示集裝箱、微型汽車等，建立“1噸”的概念表象。學生在口耳心手的協同活動中生成了豐富而深刻的體驗。

三、反思體驗，構建“理性課堂”

1. 刨根問底，形成源流體驗

研究者認為，“認識、理解緘默知識的關鍵就是讓它們‘顯性化，從而加以檢討、修正或應用”。在數學教學中，教師要引導學生反思，讓學生對數學形成理性認識，進而改善學生對緘默知識正面功能體驗不夠或者對負面影響缺乏警惕的問題。通過對知識形成過程進行刨根究底的追問，可以深化學生源流體驗。比如，教學蘇教版五年級下冊《圓的面積》，教材只提供了將圓轉化成近似長方形的方法。為此，筆者引導學生進行源流性反思：推導平行四邊形的面積怎樣轉化？推導三角形、梯形的面積怎樣轉化？推導圓的面積還可以怎樣轉化？這樣的刨根究底，能給學生更多的啟示。這些圖形面積推導的轉化都有怎樣的共同點？如此，給學有余力的學生提供更多的營養。

2. 歸納性反思，生成結構體驗

在數學教學中，教師不僅要引導學生對數學知識進行追本溯源的反思，還要引導學生進行歸納性反思，將零散的數學知識珠子串起來，形成知識串，勾連成知識網。歸納性反思能夠深化學生的結構體驗。比如，教學蘇教版一年級下冊《100以內的加法和減法》，對于豎式計算如13+16，教師要讓學生不斷歸納，13是1個十和3個一，16是1個十和6個一，將13和16合起來，就是將1個十和1個十合起來，將3個一和6個一合起來，一共是2個十和9個一，也就是29。歸納有助于學生形成“計數單位相同才能相加減”的加減法計算感悟。這種感悟對學生學習整數加減法、小數加減法和分數加減法都有著積極的遷移性功用。一般來說，一個核心觀念的概括程度越高，其可遷移的范圍就越大，也越能形成學生的結構體驗。

3. 批判性反思，誕生創造體驗

緘默知識對學生而言是一個極具生發性和動力性的概念。在體驗性課堂上，教師允許學生提出“異議”，以“異議”誘發學生的質疑、批判，激起學生廣泛而深入的數學交流。學生圍繞數學知識的本質進行理性分析、批判分析，進而消除片面認識，形成科學、合理的認識，生成創造體驗。比如，教學蘇教版六年級上冊《分數除以整數》中的例題1：量杯中有五分之四升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？在學生運用多種方法（如將分數化成小數、利用平均分的意義、畫圖等）進行探究后，筆者讓學生對彼此的算法進行評價，學生展開批判性反思。有學生認為轉化成小數計算具有局限性，因為并不是任何分數都能化成有限小數；有學生認為，畫圖盡管直觀，但畫圖很麻煩；有學生認為，利用平均分的意義可行，但如果不是平均分給2個小朋友喝，而是平均分給3個小朋友喝，就不好操作了；有學生認為，還是將分數除法轉化成分數乘法的方法具有普遍性；還有學生認為，這些方法都可以，只不過需要根據算式的特點靈活運用……批判性反思，沒有給學生提供“萬全之策”，而是幫助學生形成了“應變之策”。這樣的教學有助于克服學生數學學習刻板化、機械化傾向。

大量的數學緘默性知識有時是難以言說的，需要學生在數學學習中進行深度體驗。情境、活動與反思，能夠構建學生數學學習的“感性課堂”“知性課堂”和“理性課堂”。從感性到知性再到理性，模糊、零散的數學緘默性知識逐漸清晰化、結構化、顯性化。當數學緘默性知識顯性化，積淀、固化為學生的個體性經驗時，學生的數學素養便會隨之提升，這就是根植緘默知識，促進學生深度體驗所追求的目的！