內壓對圓筒殼結構模態影響研究

李 雙，李 寧，洪良友，馬斌捷，賈 亮

（北京強度環境研究所，北京，100076）

0 引 言

設計航天結構時，結構動特性數據很重要，為控制系統、載荷、POGO、顫振分析提供了基礎參考數據，其中控制系統、載荷、顫振分析主要需要參考航天結構整體彎曲模態，POGO主要需要參考航天結構整體軸向模態。為了獲得準確的結構動特性數據，當前主要采用試驗和仿真計算相結合的辦法獲取結構的動特性數據。

對于液體運載器，其主體結構通常由多個貯箱與箱間段或級間段組成，且貯箱可能占有主導地位。在飛行過程中或者在模態試驗時，貯箱內部一般都保持一定的壓力，其對結構整體模態的影響，是動特性數據獲取時，需要重點考慮的問題之一。

實際上，箭體或彈體的貯箱是一個圓筒殼結構，對于圓筒殼，理論上可以寫出動力學微分方程，但是無法得出解析解，只能通過數值迭代擬合給出數值解[1]。

當前實際工程應用中分析箭體或彈體整體彎曲模態時，方法之一是將整個箭體或彈體簡化為一根梁，另一種方法則是采用三維梁-殼模型，其中前者只能反映箭體結構的整體模態，而后者除了能反映整體彎曲模態外，還可以反映殼體的局部模態。但就這兩種方法都能反映箭體結構的整體彎曲模態來說，結果會有何差別和一致性，其中第2種采用三維梁-殼模型的方法，貯箱內是否充內壓結果又有何差別，一直是航天工程領域關注的問題。

通過梁模型研究全箭的動特性時，為考慮貯箱內壓對整體彎曲模態的影響，本文對梁在有、無軸向力作用下相關理論公式進行了推導得出了梁在有、無軸向力作用下的解析解。并通過一個簡支梁模型有限元分析進行驗證。

采用三維梁-殼模型研究全箭的動特性時，為考慮貯箱內壓對于圓筒殼結構整體彎曲模態的影響，由于無法給出解析解，通過一個理想的圓筒殼有限元分析進行了研究。

采用三維梁-殼模型研究全箭的動特性時，對于圓筒殼結構的局部殼體呼吸模態，當前實際工程應用中沒有直接的簡化方法，但其理論機理與平板模態相同。基于了解圓筒殼結構充內壓和無內壓殼體呼吸模態關系的目的，本文對平板在有無面內拉力作用下相關理論公式進行了推導，定性的說明了貯箱內壓對殼體呼吸模態的影響。

通過對理想的圓筒殼結構自由-自由狀態充內壓和無內壓時的模態進行分析研究，得出了一些規律之后，又進一步對某型號含貯箱的局部芯級圓筒殼結構實例建立了有限元模型，將自由-自由狀態充內壓和無內壓時的模態進行了研究，最后，結合理論公式和數值分析結果，給出了關于內壓對箭體動特性影響的一些規律，可供設計與試驗時參考。

1 內壓影響的理論研究

1.1 軸力對梁結構整體彎曲模態固有頻率的影響

由于圓筒殼結構動力學微分方程沒有解析解，當前實際工程應用中分析箭體或彈體整體彎曲模態時，方法之一是將整個箭體或彈體簡化為一根梁，為了解貯箱充內壓與無內壓狀態用梁簡化時彎曲模態固有頻率之間的關系，本文對一個簡支梁有軸向拉力和無軸向拉力作用的固有頻率之間的關系[2]進行研究，簡支梁有軸向拉力0T作用的示意如圖1所示。

簡支梁有軸向拉力0T作用的彎曲模態固有頻率如下式：

當00T=，即無軸向拉力時梁的彎曲模態固有頻率為下式：

式中iω為簡支梁有軸向拉力0T作用的彎曲模態固有頻率；/0iω為簡支梁無軸向拉力時的彎曲模態固有頻率；E為梁材料彈性模量；I為梁截面慣性矩；A為梁截面面積；ρ為梁材料密度；l為梁長度；i為模態階次。

由式（1）和式（2）可得出簡支梁有軸向拉力和無軸向拉力作用的彎曲模態固有頻率的關系為

a）當梁受拉時軸力 T0使梁彎曲頻率增加，當梁受壓時軸力 T0使梁彎曲頻率降低；

b）隨著模態階次的增加軸力 T0的影響減弱；

c）當軸力 T0遠小于軸向壓桿歐拉臨界壓力時可不考慮軸力對彎曲模態的影響。

1.2 內壓對圓筒殼結構殼體呼吸模態固有頻率的影響

由于圓筒殼結構動力學微分方程沒有解析解，但就內壓對殼體呼吸模態固有頻率的影響來說，理論機理與面內拉力對一個四邊簡支平板模態頻率的影響是一致的，本文采用一個四邊簡支的平板有面內拉力（兩個拉力，一個剪力）和無面內拉力作用時模態固有頻率之間的關系[3～8]來類比定性說明貯箱圓筒殼結構充內壓和無內壓時殼體呼吸模態固有頻率的關系。

四邊簡支平板有面內拉力示意，如圖2所示（為了示圖清晰，圖中只畫出了x軸方向的拉力）。

圖2 四邊簡支平板有面內拉力示意Fig.2 Four Sides Simply Supported Plate Imposed Plane InternalTension Load

四邊簡支平板有面內拉力作用時模態固有頻率如下式：

式中 ωi,j為四邊簡支平板有面內拉力作用時模態固有頻率；Nx為作用于與x軸垂直的端面上、方向與x軸一致、沿y軸單位長度的線壓力； Ny為作用于與y軸垂直的端面上、方向與y軸一致、沿x軸單位長度的線壓力；Nxy為作用于平板側面的的剪力；D0為平板抗彎剛度，E為平板材料彈性模量；μ為平板材料泊松比；h為平板厚度；a為平板x軸向長度；b為平板y軸向長度；i為板振型包含的x軸方向的半波數；j為板振型包含的y軸方向的半波數。

當 Nx=0， Ny=0， Nxy=0，即無面內拉力，無剪力時平板模態固有頻率為下式：

由式（5）和式（6）可得出四端簡支平板有面內拉力作用和無面內拉力作用時模態固有頻率之間的關系如下式：

式（7）說明：四端簡支平板有面內拉力作用相對于無面內拉力作用時對應模態固有頻率是增加的。充內壓和無內壓圓筒殼結構殼體呼吸模態固有頻率之間的關系與式（7）類似。

對于充內壓和無充內壓圓筒殼結構殼體模態固有頻率的關系，式（7）中 Nx類比為貯箱環向截面上、方向與環向一致、沿軸向單位長度的線壓力，Nx= pR，Ny類比為貯箱軸向截面上、方向與軸向一致、沿環向單位長度的線壓力， Ny= pR/2，其中，p為貯箱內壓，R為貯箱半徑；在這里，將式（6）中代表平板y軸向長度的b類比為貯箱長度； D0為貯箱薄殼抗彎剛度。

2 理想模型驗證

為驗證理論公式，本文采用一個理想圓筒殼進行驗證，其中圓筒殼半徑R=0.5 m，長度l=20 m，壁厚度h=0.01 m，材料彈性模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，屈服極限sσ=390 MPa，采用有限元方法分析。

2.1 簡支狀態理想圓筒殼模型分析

為考察圓筒殼結構充內壓和無內壓彎曲固有頻率的關系是否與梁類似符合式（4），分別采用梁單元和殼單元對該圓筒殼進行建模，邊界條件為兩端簡支。梁單元模擬模型分析結果如表1所示。簡支邊界理想圓筒殼模型分析結果列于表2。

表1 梁單元模擬模型分析結果Tab.1 Analysis Result of Beam Element Simulation Model

表2 簡支邊界理想圓筒殼模型分析結果Tab.2 Analysis Result of Idealistic Simply Supported Boundary Cylinder Shell Model

從表1分析結果可看出梁單元模擬模型有無軸力狀態的頻率關系符合式（4）。從表2結果可看出：

a）用shell殼單元模擬圓筒殼無內壓狀態一階彎曲頻率與用梁單元模擬無軸力狀態一階彎曲頻率基本相同。

b）用 shell殼單元模擬圓筒殼，只在兩端頭施加內壓狀態一階彎曲頻率與表 1用梁單元模擬，施加相同的軸力一階彎曲頻率基本相同，且只在兩端頭施加內壓狀態與無內壓狀態一階彎曲頻率的關系與用梁單元模擬結果一樣都符合式（4）。

c）用 shell殼單元模擬圓筒殼，只在兩端頭施加內壓狀態與無內壓狀態一階殼體呼吸模態頻率基本不變。這個規律主要原因是只在兩端頭施加內壓時與用梁單元模擬時圓筒殼應力狀態類似都是單向軸向應力狀態。

d）用 shell殼單元模擬圓筒殼，整個內壁都施加內壓時，充內壓狀態與無內壓狀態一階彎曲頻率基本不變，這個規律與梁模型施加軸力狀態不一致，主要原因是圓筒殼內壓狀態下，結構上存在環向應力產生的應變，由于泊松比效應，該應變對軸向應變也產生影響，從而影響整個結構的彈性勢能，導致充內壓狀態整體彎曲頻率幾乎不變。

e）整個內壁都施加內壓狀態與無內壓狀態一階殼體呼吸模態頻率增大較多。

2.2 自由-自由狀態理想圓筒殼模型分析

自由-自由邊界理想圓筒殼一階彎曲模態頻率與內壓的關系曲線如圖3所示，自由-自由狀態理想圓筒殼一階殼體呼吸模態頻率與內壓的關系曲線如圖4所示。

圖3 自由-自由邊界理想圓筒殼一階彎曲模態頻率與內壓關系Fig.3 Relationship of Free-free Boundary Idealistic Cylinder Shell First-order Bending Mode Frequency with Inner Pressure

圖4 自由-自由狀態理想圓筒殼一階殼體呼吸模態頻率與內壓關系Fig.4 Relationship of Free-free Boundary Idealistic Cylinder Shell First-order Shell Breathe Mode Frequency with Inner Pressure

從圖3和圖4可看出自由-自由狀態理想圓筒殼模型分析結果符合 2.1中（d）和（e）結論，即用 shell殼單元模擬圓筒殼，整個內壁都施加內壓時，施加內壓狀態與無內壓狀態一階彎曲頻率基本不變，施加內壓狀態與無內壓狀態一階殼體呼吸模態頻率增大較多。

3 實際結構計算

本文采用的實例模型是某型號的部分含有貯箱的芯級結構，其中貯箱半徑R=2.5 m，長度l=17.3 m，貯箱壁厚度h=0.0038 m，貯箱材料彈性模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，屈服極限σs=390 MPa。

3.1 理論方法估算分析

由于薄壁圓筒殼結構無法給出模態固有頻率的解析解，根據2.1理想圓筒殼模型驗證所得出的結論，這個實例貯箱內部充內壓時相當于整個內壁都施加內壓工況。

3.1.1 實例模型充內壓和無內壓時彎曲模態固有頻率之間的關系

根據2.1的結論（d），這個實例充內壓與無內壓狀態彎曲模態頻率相比，由于有環向應力的影響，應是變化不大。

3.1.2 實例模型充內壓和非充內壓時殼體呼吸模態固有頻率之間的關系

根據式（8），當 i =1， j=1時：

大于1時就可定性地說明1,1ω與1,1/0ω相比是增大的。

3.2 有限元方法分析

3.2.1 動力學模型建模

有限元方法分析，建模時蒙皮采用shell殼單元模擬，縱向和橫向加筋采用梁單元模擬，有限元模型如圖5所示。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite Element Model

3.2.2 求解分析

利用Abaqus軟件分析求解，分析工況列于表3。選取分析工況時，原則是貯箱最大應力不超過材料屈服極限，因為如果內壓過大貯箱最大應力超過了屈服極限，實際工程中不會有這樣的工況出現。

表3 分析工況Tab.3 Analysis Case

3.2.3 結果分析比較

實例分析結果列于表4。

表4 實例分析結果Tab.4 Analysis Result of Instance

表4結果可看出，充內壓狀態與無內壓狀態之間的頻率關系符合2.1節中第（4）和（5）條結論即充內壓狀態與無內壓狀態一階彎曲頻率基本不變，施加內壓狀態與無內壓狀態一階殼體呼吸模態頻率增大較多。

4 結 論

比較表1中梁模型驗證結果、表2中理想圓筒殼模型驗證結果和表4中實例分析結果可看出：

a）貯箱充內壓狀態和無內壓狀態一階彎曲模態頻率相比，幾乎不變。實際模態試驗中必須充內壓是為了防止貯箱發生殼體失穩，試驗和仿真分析航天結構整體模態特性時，可不考慮貯箱內壓對其的影響（保證結構不屈服）。

b）對于貯箱的局部殼體呼吸模態，當貯箱內壓即使為小量時，充內壓狀態和無內壓狀態相比，一階殼體呼吸頻率也是增大較多的。

c）有了結論 a，工程應用中如果研制初期只關心貯箱整體彎曲模態可用梁模型無軸力狀態進行分析。

本文相關理論推導是采用梁和平板來類比說明圓筒殼的模態理論的，理想模型驗證和實例是采用有限元方法分析的，關于圓筒殼動力學微分方程目前可以給出，但不能給出解析解，只能給出迭代擬合數值解，以后有必要對這方面問題做進一步深入研究，以得出解析解，從而更好的說明內壓對圓筒殼結構模態的影響。