運(yùn)用高中函數(shù)知識(shí)解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題

吳驍龍

摘要：高中函數(shù)知識(shí)應(yīng)用得比較廣泛，而在實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)中，比較常用函數(shù)建模思想來(lái)解決。本文對(duì)其具體應(yīng)用方式進(jìn)行了研究，在建模思想的基礎(chǔ)上，提高了對(duì)問(wèn)題的有效分析能力。以此為解題模板，拓寬思維，有利于學(xué)習(xí)效率的提升。

關(guān)鍵詞：高中；函數(shù)知識(shí)；數(shù)學(xué)應(yīng)用；函數(shù)建模；思想

一、建立實(shí)際應(yīng)用題中的函數(shù)建模思想

首先我們要有一個(gè)觀念，實(shí)際應(yīng)用題要把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我們就需要畫出抽象的示意圖來(lái)簡(jiǎn)明表達(dá)，所以首先就是要考慮函數(shù)模型的構(gòu)建，根據(jù)定義域在有限的區(qū)間去考慮。其解題步驟是：（1）閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么；（2）數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，若是需要圖解的，根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果，將所求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解；（4）驗(yàn)證結(jié)論：檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案；（5）實(shí)際問(wèn)題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題作出解答。

二、建模思想在三角函數(shù)例題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的知識(shí)都比較抽象，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中要把握題型的轉(zhuǎn)換和學(xué)會(huì)舉一反三看來(lái)問(wèn)題，找出最優(yōu)解，那我們就需要充分掌握函數(shù)部分的知識(shí)，在做題時(shí)能夠快速知道所考題型需要那部分知識(shí)點(diǎn)，我認(rèn)為找準(zhǔn)模型是關(guān)鍵，我們?cè)谟?xùn)練的過(guò)程中需要有意識(shí)地把建模思想提煉出來(lái)。從文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言需要我們?nèi)ゼ庸ぃ瑨伒粲杏貌糠譃槲覀兯茫瘮?shù)與圖像語(yǔ)言的有機(jī)結(jié)合可以使我們把復(fù)雜的問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，還可以幫助我們梳理思路，這樣對(duì)于我們建立解題思維很有幫助。比如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常需要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像問(wèn)題。

【例1】（2013·江蘇高考）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260

m，經(jīng)測(cè)量， .

（1）求索道AB的長(zhǎng).

（2）問(wèn)：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

【解析】（1）首先根據(jù)題意畫出圖形，在△ABC中，因?yàn)?，所以 .從而sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=

由正弦定理得

（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得

d2=（100+50t）2+（130t）2-2×130t×（100+50t）× =200（37t2-70t+50），

因0≤t≤ 即0≤t≤8，故當(dāng)t= （min）時(shí)，甲、

乙兩游客距離最短.

（3）由正弦定理算出，再根據(jù)題意時(shí)間限制選擇符合的速度區(qū)間。

在解答實(shí)際應(yīng)用題的過(guò)程中，我們需要注意以下兩點(diǎn)：（1）解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)注意對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，將模型求解結(jié)果與實(shí)際情境進(jìn)行比較，做到與實(shí)際吻合。（2）應(yīng)用三角函數(shù)建立函數(shù)模型時(shí)，突出了對(duì)三角函數(shù)工具性的考查，建模時(shí)注意相關(guān)角的范圍。

三、建模思想在函數(shù)綜合題中的應(yīng)用

高考中普遍會(huì)出函數(shù)綜合題，這就需要我們有扎實(shí)的知識(shí)功底和解題技巧。一方面，在學(xué)習(xí)書上的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，這是解題的首要因素。另外，在做題時(shí)要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，仔細(xì)審題，盲目做題多半會(huì)出錯(cuò)，所以我們先要弄清題目的已知條件，另外在實(shí)際應(yīng)用題中，往往還會(huì)有隱含條件，需要我們?nèi)ゴΓ浞掷煤脳l件之間的關(guān)系，以問(wèn)題為導(dǎo)向，運(yùn)用相關(guān)方法和知識(shí)點(diǎn)去解決問(wèn)題，逐步使邏輯明白化。在解決函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題。解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答。比如，可以利用函數(shù)方程的建模思想來(lái)求二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），求該二次函數(shù)的零點(diǎn)。我們可以畫出大概的草圖，當(dāng) 時(shí)，根據(jù)三點(diǎn)法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，同理畫出

的圖像，我們會(huì)發(fā)現(xiàn) >0，那么方程ax2+bx+c=0就會(huì)有兩個(gè)不等的實(shí)根，△=0，那么方程會(huì)有兩個(gè)相等的實(shí)根，也就是我們所說(shuō)的二重根，這時(shí)二次函數(shù)的圖象會(huì)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，而二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或者是二階零點(diǎn)；△<0，那么方程沒有實(shí)根，二次函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)，該二次函數(shù)也沒有零點(diǎn)。

四、結(jié)語(yǔ)

由此可見，函數(shù)與建模思想在高中數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中具有非常重要的意義，能夠使例題變得更加簡(jiǎn)單，使我們的解題思路更加清晰，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

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