運用案例教學滲透數學思想方法初探

賈玉英

一、案例教學與數學思想方法的概述

本文所指的“案例”，指的是在小學語數英的一節課中，教師圍繞單元或課文的訓練重點選擇幫助學生在學習時突破這個訓練重點的例子或一組材料，這個例子必須真實，在某一類中具有典型性，能給學生帶來一定的啟示和體會，能舉一反三幫助學生解決問題。“案例教學”是在教師指導下，根據一定的教學目的，選擇帶有啟發性的典型案例，通過師生之間、生生之間的多向互動、平等對話和積極研討等形式，引導學生閱讀、思考、分析、討論、表達和交流、讓學生感悟、理解和掌握知識，培養學生分析問題和解決問題等核心素養，使學生學會自主、合作、探究式學習的一種教學方法。

數學思想方法的滲透是數學核心素養中的 “自主發展——學會學習——樂學善學”的范濤 。數學思想方法是數學中的理性認識，是數學知識的本質，是數學中高度抽象、概括的內容，它蘊涵于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中。《義務教育數學課程標準（2011年版）》：數學思想方法的教學具有極其重要的意義。

案例教學很早就應用于其他領域的教學中，但在數學教學中運用甚少。本文嘗試從運用案例教學在小學數學課堂中滲透數學思想方法這一個層面來培養學生的核心素養進行探索。

一、運用案例教學滲透模型思想

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。“模型思想”是義務教育數學課程標準（2011年版）提出的十個核心概念之一，具有重要的數學價值和教育價值。由于模型思想非常重要，所以我在教學實踐中重視根據相關的教學內容運用案例教學滲透這種數學思想方法。下面以《乘法分配律》為例，談談運用案例教學法滲透模型思想。

《乘法分配律》在小學計算中起到重要的作用，但小學生常會出錯，在教學《乘法分配律》之前，我認真研讀教參，發現里面有一句話：“運算定律的學習為學生從原理上理解不同的關系提供了可能。比如分配律的學習中，無論從（a+b）×c=a×c+b×c的分解式思考，還是從a×c+b×c=（a+b）×c的合并式思考，都可以結合乘法的意義來理解。”我設計了案例教學視頻，視頻內容如下：一位小男孩到商店為同學們買故事書。故事書每本25元，他先挑了4本，后來又挑了2本，一并付了150元。這時，又進來一位小女孩買同樣的故事書，她先挑了4本，付了100元，后來又挑了2本，再付50元。她一共付了150元。

由這個案例引發學生思考：書的單價與他們買的書的本數一樣么？他們付錢的方法有什么不同？他們付的錢相等么？請你用算式分別表示他們付的錢。學生列出的式子有如下可能：

小男孩付的錢 小女孩付的錢

（4+2）×25 4×25+2×25

25×（4+2） 25×4+25×2

4×25+25×2

25×4+2×25

通過引導學生觀察思考，學生得出了（4+2）×25=4×25+2×25。我引導學生根據乘法交換律理解左邊的每一道式子都等于右邊的四道式子。再引導學生從乘法的意義上理解：6個25等于4個25加2個25，從而引導學生得出了乘法分配律的定義：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加。 左邊小男孩用的是合并式思考方法，右邊小女孩用的是分解式的思考方法。 接著，引導學生用字母表示這個模型：分解式：（a+b）×c=a×c+b×c，合并式：a×c+b×c=（a+b）×c。這樣，運用案例教學法讓學生建立了乘法分配律的模型，培養學生的建模意識和用模的意識，滲透模型思想與分類思想。

建立了模型，還要用模，將相關的練習題歸類看是否屬于這個模型，能否用這個模型進行簡便運算。在練習過程中，我要求學生根據式子的特點靈活選擇分解式或合并式的思考方法，例如，我設計了以下練習：

在（ ）里填上一個數，在○ 里填運算符號，使式子能運用乘法分配律進行簡便運算。

13×35+65×（ ） （80○8）×125

此題加深了學生對乘法分配律的模型的特點的理解，評講后再讓學生擇優選用最佳的答案，再應用模型進行計算。

二、運用案例教學滲透數形結合思想

數形結合，指的是數與形之間的一一對應。通過”以數解形”或“以形助數”，即通過抽象思維與形象思維相結合，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，從而優化解題途徑。 數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”可見數形結合的數學思想十分重要。

通過深入研讀教材，我認為《乘法分配律》的教學還可以運用案例教學法滲透數形結合的思想。

我設計了一個案例，以微課的形式呈現這個現實生活的情景的案例：“小紅家的果園由連在一起的一塊長方形的荔枝林和一塊長方形的龍眼林組成，（可畫出如下示意圖），小紅家的果園有多大？”通過呈現這個現實生活中的數學案例，引導學生獨立思考。

學生列出：（33+67）×22和33×22+67×22

第一種是合并式思考的方法，求100個22是多少。第二種用了分解式思考，33個22加上67個22是多少。學生完成后問：哪種方法較好？

這樣，運用案例教學法，結合解決實際問題的過程，理解乘法分配律的含義，培養解決生活中相關實際問題的能力，滲透了數形結合思想和多樣化擇優的思想。

三、運用案例教學滲透轉化思想

轉化的數學思想方法將某些已知條件或數量關系轉化為另外的條件或關系，化新知為舊知、化繁為簡、化難為易的一種數學思想方法。相對其他教學法而言，運用案例教學法滲透轉化的數學思想方法則別有新意。下面以《雞兔同籠》為例，探討如何運用案例教學滲透轉化的數學思想方法。

人教版新教材四年級下冊的“數學廣角”內容中出現的雞兔同籠問題難度降低：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各幾只？

為了使學生很好地理解，我用動畫設計了微課形式的教學案例，在學生獨立思考并討論后，播放《雞兔同籠》案例。先呈現雞兔同籠的題目動畫形象與問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各幾只？ 幾個小朋友（以下分別用A＼B＼C＼D＼E＼F＼代替）圍在旁邊，各自思考，各抒已見。（見表1）

在這個案例的各位孩子的討論中，無論哪一種假設法都是用了不同形式的轉化，巧妙的轉化還顯示了其解法的優越性，而這些轉化均體現了同一種數學思想——化歸思想，還滲透了對應思想與變中抓不變的思想方法。通過轉化，靈活地解決了問題。這個案例數據簡單，呈現形式生活化；通過重視雙邊互動教學，在學生獨立思考后再播放呈現，避免了學生不思考直接等答案，培養了學生獨立思考的能力。運用這個案例，再解決1500年前《孫子算經》中：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上而數，有35個頭；從下而數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？ ”此類數據較大的題目就得心應手；學生也能舉一反三，解決其他相關的問題也水到渠成。

責任編輯 龍建剛