矩陣方程AXAH=B的Hermitian R-對稱形式的最小二乘解

張秀英

(長春師范大學國際教師教育學院，吉林長春 130032)

在科學計算及工程應用等很多領域都需要求解線性矩陣方程. 特別地，許多學者研究了矩陣方程

AXAH=B.

(1)

的特殊形式的解，其中A∈Cm×n,B∈Cm×m[1-6].Khatri[1]給出了方程(1)的Hermitian解的表達式，Tian[2]給出了其最小二乘解和最小秩解的關系，Wei[3]和Zhang[4]研究了此方程在秩約束條件下的Hermitian非負定解.

設R∈Cn×n是一個非平凡的酉對合矩陣，即R=RH=R-1≠I，如果X∈Cn×n滿足RXR=X，則稱矩陣X是R-對稱的[7].令Φ為n階Hermitian R-對稱矩陣的集合，即Φ={X∈Hn×n|RXR=X}，本文研究如下最小二乘問題：

(2)

其中，A,B為系數矩陣，A∈Cm×n，B∈Cm×m.進一步地，尋找該最小二乘問題的極小范數最小二乘解.

文中，Un×n，Hn×n分別表示n×n階的酉矩陣和Hermitian矩陣的全體，AH是矩陣A的共軛轉置，分塊矩陣中的單位塊和零塊分別用I，O來表示.A?B、A*B分別為矩陣A與B的Kronecker積與Hadamard積，‖·‖表示取Frobenius范數.

1 Hermitian R-對稱矩陣的結構

令r,s分別表示酉對合矩陣R的兩個特征值1和-1的特征子空間的維數，則r,s≥1并且r+s=n.令

P=(p1,p2,,pr)，Q=(q1,q2,,qs).

因此，R有以下分解形式：

(3)

對于任意的X∈Hn×n，相應地有如下分塊形式：

(4)

其中，X1=PHXP∈Hr×r,X2=QHXQ∈Hs×s,Y=PHXQ∈Cr×s.由式(3)和(4)可得：

為討論方便，引入以下記號和分塊形式：

A1=AP∈Cm×r,A2=AQ∈Cm×s.

(5)

對A1,A2進行約化的奇異值分解.

(6)

(7)

(8)

其中，對角矩陣D的元素小于1.相應地，根據D12的分塊形式對U12,V12進行分塊.

(9)

2 Hermitian R-對稱形式的最小二乘解

對于最小二乘問題(2)，由引理1，

因此，

(10)

最小二乘問題(2)可以轉化為求解下面方程的Hermitian最小二乘解：

(11)

引理2 對于矩陣方程：

(12)

其中，A,B,C,D,E已知，X,Y是解矩陣，它的正規方程是：

證明 方程(12)等價于下面的線性系統：

此線性系統的正規方程是：

將等號左邊的兩個系數矩陣相乘，再次利用Kronecker積，得到矩陣方程(12)的正規方程.

引理3[1]線性矩陣方程(1)有Hermitian解當且僅當AA+B=B,B=BH.這時，其Hermitian解可以寫成下面的形式：

X=A+B(A+)H+(In-A+A)V+VH(In-A+A).

其中，V∈Cn×n任意. 更進一步，‖X‖2=‖A+B(A+)H‖2+‖(In-A+A)V+VH(In-A+A)‖2.

(13)

將式(9)代入(13)，可得：

(14)

(15)

顯然式(15)中的對角塊是Hermitian矩陣. 令

(16)

基于以上矩陣的分塊表示(14)～(16)，可以得到下面的結論.

(17)

其中，

C是Hermitian陣，T1,T2是滿足維數要求的任意復矩陣.

證明 當X∈Φ，由式(10)(11)和引理2可知，求方程(1)的Hermitian R-對稱形式的最小二乘解等價于解下面的正規方程：

(18)

(19)

代入式(13)，方程(19)等價于求解下面方程的Hermitian解：

(20)

將式(14)(15)的分塊形式代入式(20)，

(21)

方程組(21)中等號左邊的塊矩陣除了Ψ11和Φ11都是確定的.

式(14)中的對角塊是Hermitian矩陣，Ψ11+Φ11=∑11=Ω11.設Ψ11=C,則Φ11=∑11-C.因此，

由引理3，得到方程(1)的Hermitian R-對稱最小二乘解的表達式.

3 極小范數解

(22)

(23)

U=(U1,U2,U3),V=(V1,V2,V3),

(24)

(25)

記

(26)

基于以上矩陣的分塊表示(24)～(26)，下面的結論成立.