食餌帶收獲率的Holling-2型捕食者—食餌模型的Bautin分岔

傅仙發，陳劍峰，岳金健

(湄洲灣職業技術學院基礎部，福建莆田 351254)

1 預備知識

本文研究的食餌帶收獲率參數的Holling-2型捕食者—食餌模型表示為：

(1)

其中，β,γ,δ都是正常數；正參數h表示收獲率[1].

系統(1)的第一Lyapunov系數表達式為：

(2)

其條件表達式為[2]：

(3)

考慮以下臨界參數系統：

(4)

其中，n≥2,m≥2[3].

由(2)和(3)可知，系統(1)可能經歷Generalized Hopf分岔，即Bautin分岔.為了分析系統(1)發生余維2分岔現象的條件，必須先計算第二Lyapunov系數.于是在臨界參數系統(4)限制到余維2的中心流形是局部光滑軌道，其一維標準型可表示為：

(5)

2 第二Lyapunov系數

系統(5)中的系數a5的計算公式如下：

h30=(3i?0I2-A)-1(C(q,q,q)+3B(q,h20)).

a5的展開式為：

由Maple軟件計算，可得：

現在進行如下替換：

又可得：

令

最后可得[5]：

(6)

3 Bautin分岔曲面

當(γ,δ)∈V1時，如果選擇兩個適當的參數作為分岔參數，并且在臨界參數β=1，h=h1=2/((δ/γ)-1)3附近給予擾動β=1+ε1,h=h1+ε2，則擾動系統局部軌道等價于系統：

其中，v屬于如下集合：

如果轉化(ε1,ε2)→(v1,v2)正則，即

那么，就會發生Bautin分岔[5,7].

因此，集合Bau是系統(1)的余維2 Bautin分岔曲面.

4 結語

本文通過計算第二Lyapunov系數，討論分析了食餌帶收獲率參數的Holling-2型捕食者—食餌模型發生余維2分岔現象的Bautin分岔產生的條件，得出了對應的余維2 Bautin分岔曲面.