呈現知識生成過程的全國卷高考數學試題探究
——以一道數列題目為例

（四川省瀘州市瀘州老窖天府中學 四川瀘州 646000）

一、背景分析

《普通高等學校招生全國統一考試大綱》從“知識要求”、“ 能力要求”、“個性品質要求”、“考查要求”四個方面對考生和高考試卷提出了要求。 其中，“知識要求”的理解層面提到“對所列知識內容有較深刻的理性認識，知道知識間的邏輯關系”；掌握層面提到“能夠對所列的知識內容進行推導證明”。“考查要求”中提到“對數學基礎知識的考查，既要全面又要突出重點。注重學科的內在聯系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面。”可見，高考試題對學生的要求不僅僅是會用知識，還需全面把握知識。而對知識的把握，重要的一個環節就是了解知識的生成過程。

二、一個經典題目的分析

縱觀這幾年的高考全國卷，2017年全國卷III的數列解答題的第一問，對知識生成過程的考查，是個經典的例子。此題出現在解答題的第一題第一問，著實讓很多考生猝不及防。說此題前，我們先來說說整個高中要求學生掌握的數列公式的邏輯線。

數列知識從一列數起源，找到規律，利用不完全歸納法得出等差數列、等比數列通項公式。其中，等差數列是后一項在前一項的基礎上不斷地加同一個數（即公差，通常用字母d表示），因此等差數列通項公式是等比數列通項公式（q 是指公比）的推導原理類似。除了研究通項公式，我們還研究前n 項和公式。前n 項和，通常記作Sn，顧名思義，數列的前n 項和是指由此意義，我們還可以知道兩式做差，我們可以有如下演算過程：

公式③便是已知數列的前n項和，求通項公式時的一個重要公式。

除此以外，利用倒序相加法我們推導出了等差數列的前n項和公式：

將an=a1+(n?1)d 代入化簡可得：對此公式進一步整理還可以變形為：

發現d≠0的等差數列前n 項和公式是一個關于n的常數項為0的二次函數。另外，利用錯位相減法，也可以推導出等比數列的前n 項和公式：

對此公式進一步整理還可以變形為：

發現q≠1的等比數列前n 項和公式是一個關于n的指數型函數。

理清邏輯線，學生反復推導，掌握并記憶這些公式應該是非常容易的了。下面我們來看看前面提到的2017年全國卷III的17題第一問：

這個題的第一問，讓很多學生難以入手，即使對高中所有的數列公式都爛熟于心，也不知道究竟代哪個公式。實際上，題干中的的前n項和。這是一個已知前n 項和，求通項公式的題目，也就是前面提到的公式③。現在我們來嘗試解答一下第一問：

這樣分析下來，這道高考試題對知識生成過程的呈現真得堪稱經典。遺憾的是，此題學生的得分率低，結合筆者一線任教的經歷來看，我們能發現現在學生普遍現狀是：公式倒背如流，直接代公式的題目也是在反復刷題后得心應手，對知識生成的來龍去脈，對公式的推導過程，卻是一知半解，甚至全然無知的。

結合前面說到的《考試大綱》的要求和高考試題的走向，再看看學生現狀，下面提一些應對措施，供大家參考，不足之處，請多指教。

三、應對措施

1.教師提高自身數學修養，對高中數學幾大知識板塊應有更深更廣的了解。

2.提高重視程度，放慢教學速度，切實抓好概念課的啟發式教學。給學生更多時間和空間，讓他們能夠獨立或者互助地完成公式定理的推導。

3.重視教材正文。教材正文都有完整的推導過程，學生和老師都應更加重視，學生更是應該反復研讀，不斷提高自身數學素養。教材外的，教師還應適當給學生補充，或者引導學生去補充完善。