高中數(shù)學(xué)函數(shù)與回歸方程淺探

（北京師范大學(xué)株洲附屬學(xué)校 湖南株洲 412000）

引言

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最為典型的一種關(guān)系，這種關(guān)系是一種對應(yīng)性的關(guān)系，主要表達的是，當(dāng)A隨著B的變化而變化，那么就可以說A是B的函數(shù)，但是具體的函數(shù)關(guān)系有很多，不同的函數(shù)之間的表達式也各不相同。如果我們想要正確的理解認知這些概念，不僅要函數(shù)進行表面性的理解，還要學(xué)會將函數(shù)的理論知識應(yīng)用到實際的答題過程中進一步的理解其內(nèi)在含義。回歸分析法就是一種解決函數(shù)問題的最優(yōu)選擇。

一、回歸方程特點

根據(jù)函數(shù)和回歸方程的定義，可以看出二者雖然具有一定的差別，但是二者之間存在著很多相似點和聯(lián)系。函數(shù)是一種理想的關(guān)系模型，而回歸方程是一種非確定性的關(guān)系，存在隨機變量。想要在解決函數(shù)問題時采用回歸方程，就要使用回歸分析法，這種方法主要是根據(jù)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)求值，最后得到回歸方程。在進行回歸分析中，首先要找到自變量和因變量，然后根據(jù)回歸方程進行具體的分析。也就是說，在實際解決函數(shù)問題時，要根據(jù)問題中所給出的具體數(shù)據(jù)，畫出散點圖，然后區(qū)分自變量和因變量并且判斷二者是否具有相關(guān)性。通過上文的分析，可以看出回歸分析法具有以下幾個特點，第一，回歸方程中兩個變量并不對等，分為自變量和因變量，具體要根據(jù)實際問題進行判斷。第二，根據(jù)回歸方程可以推導(dǎo)出因變量的估計值。第三，在不同關(guān)系的回歸方程中，不能進行替換，方程之間相互獨立。

二、實際例題詳解

1.例題一

例：一家服裝廠有很多設(shè)備，想要對設(shè)備進行管理，明確具體成本，因此將設(shè)備的使用年限設(shè)為x，并將設(shè)備需要支付的維修費用設(shè)為y，根據(jù)服裝廠提供的資料，得到了如表1所示的X、Y數(shù)值：

表1 該服裝廠的X、Y數(shù)值

根據(jù)表1中的具體數(shù)值能夠確定在維修費用y和使用年限x之間有著一定的關(guān)系，要求出二者之間的線性回歸方程，并且根據(jù)上述數(shù)據(jù)推導(dǎo)出，當(dāng)該服裝廠設(shè)備使用年限x=10時，對應(yīng)的設(shè)備維修費是多少[1]。

解：首先求出計算線性回歸方程所需要的具體函數(shù)，首先，維修費用y和使用年限x的平均數(shù)，然后，要計算出xi2和xiyi的總和等數(shù)值，最后，根據(jù)y=bx+a的方式得到b和a。

將x=10帶入到該回歸方程中，就可以估算出當(dāng)該服裝廠設(shè)備使用年限x=10時，對應(yīng)的設(shè)備維修費y=12.38。在解答這一題目的過程中，首先通過具體的數(shù)據(jù)判斷出維修費用y和使用年限x之間存在線性關(guān)系，在這的情況下，省略了檢驗這一步驟，如果無法確定二者關(guān)系時，就要進行檢驗工作，如果兩個變量之間沒有相關(guān)性關(guān)系，或者二者之間的關(guān)系并不顯著，那么回歸線性方程就是失去了作用，使用回歸線性方程所得到的結(jié)果也不是最優(yōu)解，因此可知，在使用回歸方程時，必須要確定兩個變量之間的關(guān)系，以此可以更加準(zhǔn)確的解決具體問題，并且提升解題效率。

2.例題二

例：某農(nóng)業(yè)科研所在對新品種大豆的發(fā)芽情況進行研究時發(fā)現(xiàn)，冬季晝夜溫差大小和新品種大豆的發(fā)芽數(shù)之間有著一定的關(guān)系，為了明確二者之間的關(guān)系，該農(nóng)業(yè)科研所進行了研究，并且記錄了五天的數(shù)據(jù)，包括每一天的晝夜溫差情況以及每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到了如下資料：

表2 科研所的具體數(shù)據(jù)

解題思路：在五組數(shù)據(jù)中，借助其中三組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，在利用剩余兩組進行檢驗，但是需要注意的是，在求解線性回歸方程之前，必須要判斷，用于檢驗的兩組數(shù)據(jù)不是相鄰數(shù)據(jù)的概率，以此得到線性回歸方程的準(zhǔn)確性較高。

解：首先要求出兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰數(shù)據(jù)的概率，因為在五組數(shù)據(jù)中選出兩種數(shù)據(jù)的情況一種有十種，每種結(jié)果的出現(xiàn)的概率相同，那么抽到相鄰數(shù)據(jù)的情況有四種，因此兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰數(shù)據(jù)的概率為3/5。繼而分別求出發(fā)芽數(shù)y和溫差x的平均數(shù)，分別為27和12，然后計算出xi2和xiyi的總和等數(shù)值，在此基礎(chǔ)上就可以求出二者之間的線性方程如下：

3.例題三

例：某工業(yè)車間為了提高生產(chǎn)產(chǎn)量，加快生產(chǎn)效率，展開加工試驗，確定加工零件所需要花費的時間，繼而確定工時定額，得到了十組試驗數(shù)據(jù)，要求根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)容得到加工200個零件所需要花費的時間[2]。經(jīng)過前兩道例題的分析可知，首先要通過給出的具體數(shù)據(jù)進行分析，判斷加工時間和零件數(shù)之間的關(guān)系，進而求出具體的回歸線性方程，根據(jù)方程預(yù)測得出加工200個零件所需要花費的時間，需要的內(nèi)容依舊為：y和x的平均數(shù)，然后計算出xi2和xiyi的總和等數(shù)值，最后根據(jù)y=bx+a，得到b和a的數(shù)值。

結(jié)語

綜上所述，通過本文對高中數(shù)學(xué)函數(shù)與回歸方程的詳細研究，基于函數(shù)和回歸方程的相關(guān)概念知識，對二者之間的關(guān)系和作用有了簡單的了解，并且將回歸方程應(yīng)用到了函數(shù)數(shù)學(xué)例題中，并且對題目詳細的計算，以此明確了回歸分析法對函數(shù)數(shù)學(xué)題目的作用。未來，在遇到同類型的函數(shù)數(shù)學(xué)題目時，我們也可以通過建設(shè)對應(yīng)回歸方程的方式進行解答。但是，還需要進一步提高我們的理論知識記憶能力和實際運用能力。