論導數在高中數學解題中的使用

王玉玨

摘要：導數是高中數學的重要知識內容之一，屬于微積分初步知識。近年來，高考內容中導數相關知識所占的比重越來越大，已經逐漸成為各地高考的熱點內容。在高中數學中，導數與幾何知識、數列、不等式、函數等均有關聯，在高中數學解題中發揮著重要作用，本文主要對導數在高中數學解題中的運用進行簡要闡述。

關鍵詞：高中數學；導數；解題；使用

導數知識是歷年高考中的關鍵內容，在整個高中數學學習中都起到顯著作用，在高中知識考查中，導數經常和不等式、幾何、數列及函數等知識聯合起來考查，這就著重培養了學生的綜合運用能力及數學思維能力，對提高我們的數學解題能力來說意義重大。

一、導數在函數解題中的使用

函數是高中數學知識中的重點內容，運用導數可有助于解決函數最值問題。二次函數最值考查的關鍵在于某個區間中二次函數最大值與最小值，這類題歷年來都是高考必選題[1]，運用數形結合知識解答相對較為繁瑣，而借助導數來判斷二次函數區間內單調性及最值則十分有效。例如：已知f（x）=ln（1+x）-x，求f（x）最大值。在解題時我們可以利用導數進行解題，求出函數定義域后借助導數知識求出最大值。首先明確f（x）定義域為x（-1，-∞），導數為f'（x）=-1，使得f'（x）=0，可得出x=0，x取值范圍處于-10；x>0下則f'（x）<0，而f（0）=0，因而當x取值為0時，f（x）有最大值，即最大值為f'（x）=0.

二、導數在曲線切線中的使用

幾何圖形問題解答中也可以利用導數知識進行求解，高中數學大題中常常會出現坐標系中求切線方程式問題，這種類型的題目主要是給我們一個曲線外坐標位置，經過這一坐標點求出曲線切線方程。例如，有曲線y= f（x），曲線外存在一坐標點A（x0， y0），求經過該點曲線切線方程。在借助導數知識進行這類問題解答中，我們先要判斷的是點A在不在曲線上，然后求出導數f'（x）。如果A點處于曲線上，根據切線方程y-y0= f'（x） （x-x0）便能夠求得答案；另外一種情況下，若A點處于非曲線上，可令切點（x1， y1），y1= f（x1），y0-y1=f'（x1）（x0-x1），得出切點值（x1， y1），由此便得到兩個經過曲線的坐標，帶入可得到經過A點曲線切線方程為y-y1=f'（x1）（x-x1）。

三、導數在不等式中的使用

對于不等式恒成立與能成立問題的研究是高中數學知識中的重點，在證明不等式恒成立問題時，我們都會出現無從下手的情況。其實借助導數知識，便可以將不等式恒成立問題簡化成為函數最值問題?？赏ㄟ^構造，將不等式因子移到一邊看作函數，對此函數單調性及最值問題來進行研究。還可以通過將不等式轉化成易證明不等式來解決，若其中有ex或lnx，可轉化為一次/二次函數，然后分析單調性和最值。方法總結為：①若f （x）>k在M上恒成立，則表示f （x）在M中f （x）min>k成立；②若f （x）g（x），則F（x）= f （x）-g（x），F（x）min>0；⑤如果任何x1，x2M下，存在f （x1）g（x2），則F（x）min> g（xmax）。

四、導數在數列問題中的使用

對于數列的學習，我們可以將其轉化為以自然數作為自變量的函數來進行求解，如果能夠用字母來表示數列通項解析式，便能借助導數知識來判定數列增減性，進而得出最大項、最小項。比如：數列{an}通項式an=7n2-n3，nN*，求解最大項。我們在解題時首先可以將數列轉變成函數，即f （x）=7n2-n3，x（0，+∞），對函數進行求導得到f'（x）=14x-3x2，求導f'（x）為0情況下計算出x=14/3，由此對函數f（x）區間內單調性進行判斷，即為當x大于0并小于14/3情況下，f'（x）>0，函數為單調遞增；若x大于14/3情況下，則f'（x）<0，函數為單調遞減，因此最值為x取值為14/3情況下，得出函數最大值。數列{an}中nN*，f （n）=7n2-n3，f （4）=48，f （5）=50，由此得出數列{an}最大項為50。

五、導數在實際問題中的使用

導數還與實際數學問題解答有密切關聯，將其運用在代數中能夠對瞬時變化率問題進行解答，甚至在物理速度、加速度問題中也能發揮作用[2]。比如一輛行駛的轎車，其平均行駛速度為60km/1小時，由于轎車在行駛的過程中受到交通環境的影響，會出現明顯的快慢變化，并非是保持勻速行駛，不能達到60km/1小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中行駛快慢變化情況，可以縮短時間間隔，將汽車所在位置s與時間t的關系，設為s=f（t），將汽車行駛時間變化由to設置為t，汽車行駛的平均速度為[f（t1）-f（t0）][t1-t0]，當t1與t0值無限趨近于0時，汽車行駛速度變化則不會很大，其瞬時速度值與平均速度較為接近，進而可以將t1→t0時的極限lim[f（t1）-f（t0）]/[t1-t0]，作為汽車在時刻t0的瞬時速度，即汽車行駛的速度，這實際上是由平均速度類比到瞬時速度的過程。

總之，導數知識對于高中數學知識解答有著重要作用，我們在學習過程中應充分利用導數知識來強化自身的數學解題能力，提高數學解題的正確率。

參考文獻：

[1]呂世龍.高中數學導數知識的學習體會[J].中國農村教育，2018 （06）：24-25.

[2]王炫凱.導數幾種問題的分析[J].中國校外教育，2017 （06）：126+136.