數(shù)學史料與高中數(shù)學教材融合的現(xiàn)狀分析

摘 要：將教材中運用數(shù)學史的方式分為點綴式、附加式、復制式、順應式、重構(gòu)式五種.運用上述分類方式，對人教B版必修教材中的數(shù)學史料進行考察，研究發(fā)現(xiàn)：數(shù)學史已進入教材的各個部分，教材中數(shù)學史料的較少，運用方式以點綴式、附加式等顯性呈現(xiàn)方式為主，將數(shù)學史融入教材的重構(gòu)式等隱性方式較少.

關(guān)鍵詞：數(shù)學教材；融入；數(shù)學史料；現(xiàn)狀分析

作者簡介：覃淋（1991-），男，四川南充人，碩士，研究方向：數(shù)學史與數(shù)學教育研究.

一、引言

在數(shù)學教材中融入數(shù)學史料，是HPM研究的一個重要方面.自1972年在第二屆國際數(shù)學教育大會上成立數(shù)學史與數(shù)學教學關(guān)系國際研究小組后，人們已逐漸認識到數(shù)學史在數(shù)學教育中扮演著重要的作用，數(shù)學史的教育價值受到數(shù)學教育工作者的廣泛關(guān)注.與此同時，教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式也經(jīng)歷了較大的變化.因此，考察教材中數(shù)學史料的融入情況，對未來數(shù)學教材的編寫具有重要意義.

在數(shù)學教材中運用數(shù)學史，有較為悠久的歷史.在20世紀初的一些數(shù)學教材中，已經(jīng)開始將數(shù)學史運用于教材中，只是大多以故事的形式出現(xiàn)，與教學內(nèi)容聯(lián)系并不密切.一般而言，教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式可分為顯性和隱性兩大類[1].如數(shù)學家畫像、數(shù)學家的傳記、數(shù)學概念起源的介紹、數(shù)學符號的歷史等，都屬于顯性方式.顯性數(shù)學史料的主要作用是引起學生的學習興趣，激發(fā)學習動機.隱性方式則是根據(jù)實際教學，對數(shù)學史料進行改編、重構(gòu)，保留歷史上相關(guān)數(shù)學概念發(fā)生發(fā)展的關(guān)鍵步驟，以潤物無聲的方式體現(xiàn)數(shù)學史料提供的思想和方法，所謂的“發(fā)生教學法”就屬于隱性方式.隱性呈現(xiàn)方式中，數(shù)學史料的表現(xiàn)并不十分明顯，常常隱藏在一些數(shù)學概念或例、習題之中，按數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的順序展現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容，讓學生在無意識中經(jīng)歷數(shù)學“再創(chuàng)造”的過程.

關(guān)于教材中數(shù)學史料運用方式的分類，到目前為止，得到廣泛認可的分類方式還沒有.大多數(shù)分類方法都是針對在數(shù)學課堂教學上運用數(shù)學史來討論的，如CTzanakis等總結(jié)了在數(shù)學教學中運用數(shù)學史的三種方式：（1） 提供直接的歷史信息；（2） 借鑒歷史進行教學；（3） 通過數(shù)學及其文化背景發(fā)展學生的數(shù)學意識.UTJankvist提出了另外的3種方法：（1） 講述法，即在教學過程中補充相關(guān)的歷史信息；（2） 模塊法，即設(shè)計一些與教學內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學史專題；（3） 歷史啟發(fā)法，是一種間接運用歷史的方法，如發(fā)生教學法.本文采用汪曉勤教授建立的分析框架[1]，見表1.該分類框架是按數(shù)學史與數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)程度，將教材中運用數(shù)學史料的方式分為5類：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構(gòu)式.前兩種方式獨立于教學內(nèi)容，其是否存在對教學的影響不大，后三種則與教材正文內(nèi)容相關(guān).若按史料的呈現(xiàn)方式看，前3種屬于顯性，后2種屬于隱性方式.

順應式44正文各欄目中對歷史上數(shù)學問題進行改編，使之具有適合于今日課堂教學的情境或?qū)傩裕换蚴窃诰毩暋⒘曨}中對歷史上的數(shù)學問題進行改編，使之適合今日學生的學習.隱性

重構(gòu)式55正文各欄目中借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識.隱性

二、高中數(shù)學教材中的數(shù)學史料

按表1給出的分析框架，對人教B版高中數(shù)學教材[2]中的數(shù)學史料的運用情況進行統(tǒng)計分析.

1點綴式

5冊教材中，點綴式數(shù)學史料共有10處，占B版教材中數(shù)學史料總數(shù)的20%.從5冊教材點綴式數(shù)學史料的具體內(nèi)容來看，和A版教材一樣，以數(shù)學家肖像、歷史上數(shù)學著作的圖案和反映相關(guān)數(shù)學主題的圖片為主.

5冊教材中涉及到的數(shù)學家有：康托（數(shù)學1）、華羅庚（數(shù)學2）、納皮爾（數(shù)學1）、韋達（數(shù)學4），而且數(shù)學家肖像又主要出現(xiàn)在課后的閱讀材料中.歷史上數(shù)學著作的圖案僅涉及了劉徽“割圓術(shù)”的弧田圖，除此外，其它點綴式數(shù)學史料都是在章頭，用于引入教學的主題.如數(shù)列一章的章頭，給出了斐波拉契關(guān)于兔子繁殖的問題（斐波拉契數(shù)列）和國際象棋的棋盤.

2附加式

B版教材中附加式數(shù)學史料是最多的.從各冊教材的分布來看，很不均衡，其中數(shù)學4僅有1處.表2列出了B版教材中部分附加式數(shù)學史料.

從B版教材數(shù)學史料的存在形式看，基本上都以“閱讀與欣賞”的形式存在.而從選擇的內(nèi)容來看，和人教A版教材的區(qū)別是比較明顯的，A版教材中的附加式數(shù)學史料主要是對教材內(nèi)容的補充，或是對教材內(nèi)容的應用作一個簡單介紹.B版教材中附加式數(shù)學史料冠以“數(shù)學文化”的小標題，主要是介紹教材中相關(guān)內(nèi)容的歷史的發(fā)生發(fā)展過程，或是與教材正文內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學家的簡短傳記，或是歷史上一些有趣的數(shù)學故事.

3復制式

教材也僅有數(shù)學3與數(shù)學5中有復制式數(shù)學史料.這應該和兩冊教材的內(nèi)容相關(guān)，數(shù)學3中“算法”一章，“算法化”是中國古代數(shù)學的主要特征之一.數(shù)學5中主要“數(shù)列”的內(nèi)容，數(shù)學5中復制式數(shù)學史料都在數(shù)列一章中，涉及到的內(nèi)容比較豐富，有斐波那契數(shù)列，還有《九章算術(shù)》《張丘建算經(jīng)》《詳解九章算法》等中國古代數(shù)學著作.比如給出了《九章算術(shù)》中“耗子穿墻”問題：“今有垣厚5尺，兩鼠相對.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢？各穿幾何？”[3]

在《數(shù)學3》“算法”一章的章末復習題中則直接運用了《張丘建算經(jīng)》的“百錢百雞”問題.

4順應式

教材中順應式數(shù)學史料的數(shù)量僅次于附加式史料，占教材中數(shù)學史料的32%，但從5冊教材中數(shù)學史料的分布看，也很不均衡.

《數(shù)學1》“函數(shù)”一節(jié)中，簡單介紹了函數(shù)概念的發(fā)展歷程.在17世紀，伽利略在其著作《關(guān)于兩種新科學的對話與數(shù)學證明》用s=12gt2來討論自由落體運動，然后通過實例擴張了函數(shù)的內(nèi)涵，最后給出了“集合的對應關(guān)系”的函數(shù)定義.同冊“函數(shù)方程”一節(jié)中，介紹二分法時，回顧了歷史上尋找高次方程公式解的歷程，在此基礎(chǔ)上說明“對于高次多項式函數(shù)，尋求函數(shù)零點近似解的必要性”.

《數(shù)學2》“圓的方程”一節(jié)中，利用趙州橋設(shè)置了一道例題.《數(shù)學3》中有5處順應式數(shù)學史料.其中3處是在“算法初步”一章中，這一章在介紹了“更相減損術(shù)”“割圓術(shù)”“秦九韶算法”時都進行了必要的改編，用現(xiàn)代數(shù)學語言將它們的算法過程寫出來.同冊“概率”一章中，在引入概率的“統(tǒng)計定義”時，也是通過歷史上擲硬幣的試驗來引入的.通過試驗來說明“在多次重復試驗中，同一事件發(fā)生的頻率在某一個數(shù)值附近擺動，而且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動幅度越小，頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性”.

《數(shù)學5》“解三角形”一節(jié)中，介紹“等差數(shù)列前 n 項和”時，設(shè)置了如下問題，“堆放一堆鋼管，最上層放了4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層，這堆鋼管共有多少根”？[2]這一類問題，中國古代許多數(shù)學家都做過相關(guān)研究，比如沈括《夢溪筆談》、楊輝《詳解九章算法》、朱世杰的《四元玉鑒》及清末著名數(shù)學家李善蘭《垛積比類》等等.然后在課后習題設(shè)置了習題：“觀察圖1三角形數(shù)表，求第 n 行中各數(shù)之和.”這里的三角形明顯是改編自“楊輝三角”，只不過是酒瓶裝新酒，推陳出新而已.

同冊“等比數(shù)列”中，在介紹等比數(shù)列前 n 項和公式時，利用國際象棋發(fā)明的故事，隨后用莊子的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”設(shè)置了一道例題，要求學生用等比數(shù)列的前n項和的知識對此進行解釋.

5.重構(gòu)式

《數(shù)學3》在引入算法的概念時，利用了“雞兔同籠”的問題，然后分別用算術(shù)方法和代數(shù)方法，解決了此問題.在用代數(shù)方法解決問題時，顯然要引進二元一次方程組，教材在此基礎(chǔ)上，引入了一般的二元一次方程組，再引入高斯消元法.這里，教材的處理遵循了發(fā)生法，先從一個具體且有趣的問題出發(fā)，讓學生通過算術(shù)方法和代數(shù)方法解決問題，然后比較兩種解法各自的特點.再引入一般二元一次方程組，從特殊到一般，從簡單到復雜，符合學生的認知發(fā)展.也讓學生經(jīng)歷了數(shù)學知識“再創(chuàng)造”的過程，可以較好的激發(fā)學生的學習興趣.

三、進一步分析

至此，對教材中數(shù)學1-5中的數(shù)學史料作了一個比較詳細的討論.為進一步分析教材中數(shù)學史料的使用情況，統(tǒng)計了五冊教材中各種運用數(shù)學史料方式的數(shù)量.結(jié)果如表3.

由表3知，5冊教材中數(shù)學史料的數(shù)量分別為9，7，14，4，16，總數(shù)為50.從每一冊的數(shù)量來看，5冊教材中的數(shù)學史料分布也極不均衡，最多與最少二者相差達到4倍之多.而從教材中數(shù)學史料的運用方式來看，主要是附加式和順應式.從教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式看，顯性方式達到了66%，隱性方式為34%

如表1，按數(shù)學史料的運用水平賦值，即水平1（點綴式）賦值為1，水平2（附加式）賦值為2，以此類推.考察B版教材中各冊教材運用數(shù)學史料的水平及教材運用數(shù)學史料的總體水平.利用文獻[1]中給出的計算公式，計算得到B版教材運用數(shù)學史料的水平為B=10×1+17×2+6×3+16×4+1×550=278.同樣可以得到B版教材數(shù)學1-5的數(shù)學史料運用水平依次為211、214、286、2、306.這樣就可以比較五本教材中數(shù)學史料的運用水平，顯然，數(shù)學5是五冊教材中運用數(shù)學史料水平最高的.

四、結(jié)論與建議

從數(shù)學史料內(nèi)容在教材中出現(xiàn)的范圍、次數(shù)及運用水平來看，應該說教材的編寫者比較重視數(shù)學史料的融入.但通過對教材中數(shù)學史料的運用水平的分析，發(fā)現(xiàn)它們與將數(shù)學史料和數(shù)學課程內(nèi)容有機結(jié)合的目標還存在一定的差距.為使教材中的數(shù)學史料更好的促進學生對數(shù)學知識的學習，教材中融入數(shù)學史料的數(shù)量及運用水平上都有待改進.

首先，教材中數(shù)學史料的融入，在數(shù)量上和運用方式上都應該有一個相對合理的分布.由表3知，數(shù)學史料在教材的分布都非常不均衡.從每一冊教材來看，數(shù)學史料的分布都不均衡.數(shù)學4與數(shù)學5之間相差達到了4倍.再從教材中數(shù)學史料的運用方式來看，其分布也是很不均勻的.教材中僅有1處重構(gòu)式數(shù)學史料.從整體上看，教材中數(shù)學史料的數(shù)量僅有50處，相對較少；在數(shù)學史料的運用水平上也比較低，教材中史料的呈現(xiàn)方式也以顯性方式為主.

其次，從史料的具體內(nèi)容來看，教材在數(shù)學史料的選擇上是比較狹窄的.教材的數(shù)學史料主要集中于介紹我國古代數(shù)學，其中以數(shù)學3和數(shù)學5為甚.如數(shù)學3中，教材介紹了“更相減損術(shù)”“秦九韶算法”“割圓術(shù)”，而對與“更相減損術(shù)”一樣的“歐幾里得算法”則介紹較少.《數(shù)學5》第56頁的“閱讀與欣賞”欄目有“級數(shù)趣題”的內(nèi)容，里面介紹了4個題目，都是中國古代數(shù)學著作中的，而實際上，最早的此類問題可以追溯到古巴比倫泥版書和古埃及的紙草書.如《萊因德紙草書》中有這樣的問題“有一座莊園有7幢房子，每幢房子里面有7個人，每個人養(yǎng)了7只貓，每只貓每天吃7只老鼠，每只老鼠每天吃7棵谷穗，每棵谷穗能產(chǎn)生7赫卡特（赫卡特是古埃及的一種計重單位）的糧食，問這個莊園里共有多少東西”？[4]這一問題在后來的許多初等數(shù)學著作又有許多變式.教材中過于集中對中國古代數(shù)學成就進行介紹，而忽視國外數(shù)學家的成就，可能無法發(fā)揮數(shù)學史的重要教育價值，也不能讓學生對數(shù)學產(chǎn)生整體的認識.因此，教材中數(shù)學史料的選擇，除了向?qū)W生介紹我國古代數(shù)學成就外，也應該介紹國外相關(guān)的數(shù)學成果，中外兼顧.中國數(shù)學是世界數(shù)學內(nèi)容的一部分，唯有把中國數(shù)學史融入世界數(shù)學史之中，讓學生通過分析、比較，才能全面認識中國數(shù)學的優(yōu)點與不足.也只有這樣，才能幫助學生克服民族中心主義的偏見，以更廣闊的視野去看待數(shù)學作為一種文化，對人類和社會發(fā)展所做出的貢獻.

最后，表3的統(tǒng)計結(jié)果表明：教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式以顯性方式為主.教材中有高達66%的數(shù)學史料以顯性方式呈現(xiàn)，教材在數(shù)學史料的運用方式也以點綴式、附加式為主.教材中數(shù)學史料大都是置于教材正文內(nèi)容之后，以閱讀材料的形式出現(xiàn)，這樣呈現(xiàn)的數(shù)學史料，系統(tǒng)性不是很強，與教學內(nèi)容關(guān)系并不十分密切[5].從具體內(nèi)容來看，也大都是淺嘗輒止，沒有展現(xiàn)數(shù)學思維發(fā)生發(fā)展的整體過程.如此，若要體現(xiàn)數(shù)學史的教育價值，就要求教師花費大量的精力搜集相關(guān)資料.但從實際教學而言，由于課時、考試等因素的限制，再加上一些教師本身數(shù)學史素養(yǎng)不是很高，讓教師自己搜集資料，本身就是一件比較困難的事情.

同時，由于教材大部分的數(shù)學史料都以顯性方式（點綴式、附加式、復制式）呈現(xiàn)，導致在實際教學中，數(shù)學史的運用浮于表面，使得教師和學生無法認識到數(shù)學史的教育價值.教師在對教材中顯性數(shù)學史料的處理上很有可能走向兩個極端[1]：一是直接棄之不管，讓學生自己課后閱讀；二是本末倒置，將數(shù)學史的融入變成了單純的數(shù)學史教學.實際上，不論是中國大陸的數(shù)學教材，還是中國臺灣地區(qū)的中學數(shù)學教材都存在這一問題[1，6].

運用“重構(gòu)式”的方式將數(shù)學史料融入教材，首先需要對數(shù)學史料進行選擇，確定相關(guān)數(shù)學主題的歷史發(fā)展的關(guān)鍵步驟，然后再對史料進行加工、重構(gòu)和再創(chuàng)造，這些都需要數(shù)學史專家的加入.數(shù)學史專家的加入，除了可以避免在教材中數(shù)學史料知識性錯誤的出現(xiàn)，提高教材編寫的質(zhì)量，還能對融入教材的數(shù)學史內(nèi)容進行總體上的規(guī)劃，注意數(shù)學史料使用的前后的連續(xù)性，使得教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式更為合理，更加符合學生的認知，方便教師的教學.

將數(shù)學史料融入教學的關(guān)鍵在于教師，而教材又是教師教授和學生學習的主要依據(jù).從上述分析來看，教材中數(shù)學史的融入并不十分理想，數(shù)學教學也遠沒有達到“依歷史而教育”.許多研究表明，教師在教學中很少使用數(shù)學史，主要原因是缺乏可供直接使用的數(shù)學史.主要表現(xiàn)在三方面[7]：一是沒有相應的數(shù)學史料供教學使用；二是教師雖然有一些數(shù)學史知識，但卻不知如何使用；三是對數(shù)學史料的教育價值認識浮于表面，認為數(shù)學史就是講講故事.因此，除了邀請數(shù)學史專家參加數(shù)學教材的編寫外，還可以組織相關(guān)數(shù)學史專家、數(shù)學教育專家和數(shù)學家為數(shù)學教師編寫用于教學的材料.美國數(shù)學教師協(xié)會就曾組織專家編寫了《用于數(shù)學課堂的歷史主題》（History Topics for the Mathematics Classroom），供數(shù)學教師在課堂教學中使用.這樣，數(shù)學教師就可以在課堂教學中運用數(shù)學史，避免教學實踐中“高評價，低應用”現(xiàn)象的發(fā)生.

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