例談高考命題熱點之與球有關的計算問題

楊忠明

摘 要：與球有關的計算問題，特別是有關多面體外接球的問題是近幾年高考的一個熱點。此類題的設計一般都源于教材但高于教材，解答時需要學生發(fā)揮較強的識圖能力和空間想象能力。本文就近兩年的部分高考題進行舉例說明。

關鍵詞：高考 球 計算

通過認真研究近幾年全國各省市的高考試題就會發(fā)現(xiàn)，涉及與球有關的計算問題在高考中頻頻出現(xiàn)。可見，與球有關的計算問題，特別是有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是一個不可小覷的高考熱點。與球有關的高考題往往以小題的形式出現(xiàn)，試題的設計一般都源于教材但高于教材，有一定的難度，解決此類問題時需要學生發(fā)揮較強的識圖能力和空間想象能力。下面以近三年高考全國新課標卷中出現(xiàn)的有關球的部分高考題進行分類探討與解讀。

一、考查與球有關的三視圖問題

例1：2016年新課標全國Ⅰ卷·理6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑。若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是

（A） （B） （C） （D）

解答：由所給三視圖可知，所給幾何體與球的關系如圖示。由圖可知，所給幾何體是一個球切掉了左上角的 后所得的部分。設球的半徑為 ，由題設可得 ，即 ，從而所給幾何體的表面積為 ，故選A。

點評：本題在考查基礎知識、基本方法的同時，側(cè)重考查識圖

能力和空間想象能力。試題還要求考生能根據(jù)條件進行正確的推理和運算，將球的體積問題轉(zhuǎn)化為球的表面積問題。

二、考查與球有關的組合體問題

球與其他幾何體組合在一起的圖形稱為球的組合體，與球有關的組合體問題有內(nèi)切和外接兩種。如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球。球外切多面體是指球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑，球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球。解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵在于仔細觀察、分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素之間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖（要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關系），達到空間問題平面化的目的。

例2：（2017年新課標全國Ⅲ卷·理9）已知圓柱的高為1，它的

兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為

（A） （B） （C） （D）

解答：如圖，由題意可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓的半徑為 ，則圓柱體的體積 ，故選B。

點評：本題考查圓柱和球的相關概念，在能力層面上對學生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力進行考查。解題時要將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，使球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高這三個量集中在一個直角三角形中，突出對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查。

例3：（2017年新課標全國Ⅱ卷·文15）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為 。

解答：由題意易知長方體的體對角線即為球的直徑，故球的半徑為 ，∴球O的表面積為 ，故填 。

點評：本題考查長方體的外接球、球的表面積公式，在能力層面考查學生的空間想象力、邏輯推理和運算求解等能力。要求學生發(fā)揮空間想象力，通過邏輯推理將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而由長方體的長、寬、高求得球的半徑和球的表面積。

例4：（2017年新課標全國Ⅰ卷·文16）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑。若平面SCA⊥平面SCB， ，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________。

解答：設球 的半徑為 ，∵SC是球O的直徑， ，SB=BC，∴ ， 均為等腰直角三角形。又點O為 的中點，連接 ， ，∴ ， 。∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 .∴ ，即 ，解得 .∴球O的表面積為 ，故填 。

點評：本題考查求幾何體的體積、球的表面積、平面與平面垂直的判定等，解題時必須要經(jīng)過“讀題”“思圖”“構(gòu)圖”“運算”的過程。試題把空間想象能力和邏輯推理能力有機結(jié)合，很好地體現(xiàn)了新課程背景下要求學生自主探究的理念。

例5：（2016年新課標全國Ⅲ卷·文11理10）在封閉的直三棱柱 內(nèi)有一個體積為 的球。若 ， ， ， ，則 的最大值是

（A） （B） （C） （D）

解答：根據(jù)題意可得，要使球的體積最大，球應與直三棱柱的若干個面相切，設球的半徑為 ，容易得到 的內(nèi)切圓半徑為 ， ，又因為 ，所以 ，所以 .應選擇 答案。

點評：本題考查直棱柱和球的相關概念，考查學生的邏輯推理能力、運算求解能力以及分析問題和解決問題的能力。解題時通過對直棱柱的高、底面內(nèi)切圓半徑和球半徑這三個量的比較與估計，才能推得球的最大半徑，從而得到球的最大體積。

從以上例子可以看出，有關球的問題是高考的一個熱點。有關球的考題一種是和三視圖的知識聯(lián)系，通過給出球與其它幾何體組合而成的組合體的三視圖，考查組合體的體積和表面積等問題；另一種是考查球與多面體的接、切問題。解答與球有關的問題時常用的方法與技巧是把問題轉(zhuǎn)化到相關圓的問題來解決，關于多面體與球的切、接問題的關鍵是找出切、接點，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決。

與球有關的問題可以很好的考查學生的空間想象能力、化歸能力和運算求解能力，此類試題既注重基礎也關注能力，試題設計一般都是源于教材但高于教材。解題時必須經(jīng)歷從識“圖”、想“圖”到構(gòu)“圖”的過程，要通過觀察、分析、想象、判斷、計算的邏輯思維才能求解。這很好地體現(xiàn)了新課程背景下，要求學生自主探究的理念，是立體幾何教學要求的核心素養(yǎng)。筆者認為，在平時的教學中應該把與球有關的問題作為一個專題進行深度教學，讓學生進行深度學習，讓學生在遇到此類問題時能發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進行合理轉(zhuǎn)化，使問題迎刃而解。