一個重要的冪級數

胡旭東

摘要：求冪級數的和函數是級數學習的重點及難點內容，找到一個突破口，以點帶面不失為一種尋求突破的好方法，這便是等比級數 。

關鍵詞：冪級數 ；等比級數

冪級數是高等數學的重要內容之一，它在工程問題中有著較為廣泛的應用，冪級數的應用和計算卻相對復雜，不易掌握.。找到一個突破口，以點帶面不失為一種尋求突破的好方法，這便是等比

級數 。以此為突破口，對研究函數項級數的收斂性判斷、求和等問題有獨到的作用，本文就此作簡要描述。

一、求冪級數的收斂半徑

利用冪級數 的收斂區間 容易理解 的收斂區間為 ，進而一步可以了知如下定理。

定理 1（柯西—阿達瑪定理） 設 ，

則冪級數 在 內絕對收斂，在 內發散。特別地，冪級數 在 內絕對收斂，在 發散。這說明冪級數 在研究冪級數的收斂半徑上有

著重要的作用，可以讓初學者擺脫過度抽象帶來的負面影響。

二、求冪級數的和函數

定理2設冪級數 的收斂半徑是R，和函數為 ，那么（1） 在收斂域內連續。（2）冪級數在收斂域上可積，并且可以逐項積分或求導，即： ，或 ，并且積分或求導后的級數不改變收斂半徑。

由此我們可以得到以下結論，這對于我們求冪級數和函數是大有幫助的。

推論 在 時，有如下結論：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （5）

（7） （8）

（9） （10）

（11） （12）

上述變化可謂豐富多彩，對（1）兩端求導則生出（2），同理由（2）可以推出（3），對（1）兩端積分則有（4），將（1）到（4）中 替換成 就得到（5）至（8），把（1）（4）（5）中 替換成 則演化為（9）（10）（11），對（11）兩端積分便得（12）。如上真乃行云流水，嘆為觀止。

下面僅舉一例說明上述變換的運用。

例、求 的和函數，其中 。

解：當 時，次級數一致收斂且有和函數存在，設

，那么

，利用推論公式（4）可得，

綜上可見， 既是最簡單的冪級數，也是最重要的冪級數。

通過對此級數的收斂性及和函數的研究與拓展，可以對冪級數的學習起到重要作用，特別是對求冪級數和函數必不可少，這是突破冪級數和函數學習的關鍵。

參考文獻：

[1] 復旦大學數學系 《數學分析》（第二版） 高等教育出版社1983年11月第二版

[2] 《高等數學》 科學出版社 2011年2月第一版