構造函數巧解題

張蒙蒙

函數是數學中非常有用的工具，通過構造函數可以解決一些用其他方法難以解決的問題。常用的函數模型有：一次函數模型，二次函數模型，指數函數模型，對數函數模型，冪函數模型，三角函數模型，但更多情況下是具體情景得出的非標準模型的函數。

一、構建函數解決問題的一般過程如下：

1、根據具體條件和結論，通過認真分析，思考，抽象出需要的函數模型。

2、根據需要研究函數的單調性，奇偶性，周期性，最值等性質中的一項或幾項。

3、利用研究所購建函數的性質得出需要的結論。

二、利用函數模型解決的問題多種多樣，下面是中學中常見的幾種類型：

1、利用單調性得出等式：若 在某個區間上是單調函數，對于該區間上的兩個實數 ，則 。

2、利用單調性得出不等式：若 在某個區間上是單調增函數，對于該區間上的兩個實數 ，則 ，對于單調減函數可進行類似的推理。

3、利用最值得出不等式：若 在某個區間上有最小值 （或最大值 ）則對于該區間上的任意實數 ，都有 （或 ）。

三、例題展示：

例1、已知 ，求證：

解析：由已知得

設 ，則 ，已知條件變為

又

所以 在 上是單調增函數

則由 可得 ，即 。

點評：本題的關鍵是將條件變形，然后注意到等式兩邊有相似的結構，因此構造函數 。

例2、定義在 上的可導函數 ，當 時， 恒成立， ，則 的大小關系（ ）

解析：由題可以有 ， ，

令 ，則 =

且

則 在 為增函數，可得 ，選A。

點評：通過觀察 的結構特征，構造了函數 ，利用函數的單調性得出結論，特別注意對 的處理。

例3、函數 的定義域為 ， ， ，則 的解集為（ ）

解：令 ，則

即 在 上單調遞增

解不等式 即解

所以有 即

點評：由 可以聯想到原函數可為 的形式。

四、舉一反三

1.已知函數 是定義在實數集 上的奇函數，且當 時， 成立，（其中 是 的導函數）。若 ， ， ，則 的大小關系.（ ）

A. B. C. D.

2.已知 是定義在 上的非負可導函數，且滿足 ，對任意的正數 若 ，則必有（ ）

A. B.

C. D.

3.設 分別是定義在 上的奇函數和偶函數，當 時， 則不等式 的解集是（ ）

A. B.

C. D.