簡(jiǎn)諧振子模擬中能量的變化

董亞琴　王圣軍

摘要：本文以簡(jiǎn)諧振子為例討論在計(jì)算機(jī)模擬中保守系統(tǒng)的能量變化。模擬和解析分析表明常微分方程通用解法使能量隨著時(shí)間指數(shù)地變化，而Verlet算法只帶來(lái)振子能量的漲落，能量不會(huì)單調(diào)變化。這些結(jié)果為理解分子動(dòng)力學(xué)模擬算法的特性提供了直觀的參考。

關(guān)鍵詞：分子動(dòng)力學(xué)；誤差；能量

中圖分類號(hào)：O411 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）50-0193-02

在分子動(dòng)力學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容是選擇求微分方程的數(shù)值解法。盡管存在多種通用解法，能夠求解各種形式的常微分方程，但是它們?cè)谇蠼饬W(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)不能保證能量守恒。分子動(dòng)力學(xué)模擬需要避免這個(gè)問題。雖然能量誤差在分子動(dòng)力學(xué)中非常重要，但是各種教材只有簡(jiǎn)單的描述。例如參考文獻(xiàn)[1]指出：歐拉方法的時(shí)間步長(zhǎng)太大時(shí)，簡(jiǎn)諧振子的相空間軌道不是橢圓，能量被粒子吸收。參考文獻(xiàn)[2]指出：用二階龍格庫(kù)塔方法模擬簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)時(shí)其相空間軌道收縮。參考文獻(xiàn)[3]提到：模擬簡(jiǎn)諧振子運(yùn)動(dòng)時(shí)步長(zhǎng)取得太大得到的結(jié)果偏離也大，甚至連能量都不守恒。這些說法都不容易理解，甚至不夠準(zhǔn)確。為幫助學(xué)生深入理解相關(guān)知識(shí)，本文討論簡(jiǎn)諧振子模擬中通用解法的能量誤差。

模擬得到的能量時(shí)間關(guān)系如圖2。它不引起能量的單調(diào)變化，只帶來(lái)能量漲落，步長(zhǎng)越小漲落的范圍越小。

本文的結(jié)果表明歐拉方法、泰勒方法、二階龍格庫(kù)塔方法導(dǎo)致諧振子能量隨著時(shí)間單調(diào)遞增，相空間軌道螺旋增大。用四階龍格庫(kù)塔方法模擬時(shí)能量隨時(shí)間單調(diào)遞減，減小步長(zhǎng)或者改變參數(shù)不能改變能量的變化趨勢(shì)。使用Verlet算法能量只發(fā)生漲落。這些結(jié)果詳細(xì)說明了通用算法在處理牛頓運(yùn)動(dòng)方程時(shí)的誤差特性，為解釋分子動(dòng)力學(xué)中算法的選擇提供了詳細(xì)的實(shí)例和分析，是教材的有益補(bǔ)充。

參考文獻(xiàn)：

[1]D.W.Heermann.理論物理學(xué)中的計(jì)算機(jī)模擬方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，1996：24-25，5-6.

[2]顧昌鑫.計(jì)算物理學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2010：396-397.

[3]馬文淦.計(jì)算物理學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2005：92-93.

[4]S.E.Koonin.計(jì)算物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1993：19-20.

[5]N.J.Giordano，H.Nakanishi.計(jì)算物理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007：273.