線性規劃問題中的“333工程”

■河南省長葛市第一高級中學 常進東

線性規劃思想堪稱數形結合的完美典范,而線性規劃問題中的“333工程”能讓我們把“簡單的線性規劃”學得更“完美”,那么,這里的“333工程”指的是什么呢?請往下看!

一、求目標函數的最值的三個步驟

(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線l;

(2)平移——將l平行移動,以確定最優解的對應點的位置;

(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優解),代入目標函數,即可求出最值。

例1(2018·西安四校聯考)設變量x,y滿足約束條件則目標函數z=y-2x的最小值為( )

A.-7 B.-4 C.1 D.2

解析：畫出由x,y滿足的約束條件表示的平面區域,如圖1所示,得它們的交點分別為A(2,0),B(5,3),C(1,3)。平移直線可知z=y-2x過點B(5,3)時,z的最小值為3-2×5=-7。

圖1

故本題選A。

評注：圖解法是解決線性規劃問題的有效方法。其關鍵在于平移目標函數對應的直線a x+b y=0,看它經過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域和最后離開可行域,則這樣的點即為最優解,再注意到它的幾何意義,從而確定是取最大值還是最小值。

二、最常見的三類目標函數

(1)截距型：形如z=a x+b y。

例2(2018·滕州模擬)已知O是坐標原點,點M的坐標為(2,1),若點N(x,y)為平面區域上的一個動點,則的最大值是

解析：畫出不等式組對應的平面區域如圖2中陰影部分所示,其中

圖2

設z==2x+y,則目標函數z=2x+y。

由圖2知,當直線過點C(1,1)時,z=2x+y取得最大值3。

故答案為3。

評注：對于形如z=a x+b y的目標函數,只需將它轉化為直線的斜截式y=-,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值。

(2)距離型：形如z=(x-a)2+(y-b)2。

例3(2017·陜西質檢一)點(x,y)滿足不等式|x|+|y|≤1,z=(x-2)2+(y-2)2,則z的最小值為

解析：|x|+|y|≤1所確定的平面區域如圖3中陰影部分所示,目標函數z=(x-2)2+(y-2)2 的幾何意義是點(x,y)到點P (2,2)距離的平方,由圖可知z 的最小值為點P(2,2)到直線x+y=1距離的平方,即為。故答案為 。

圖3

評注：對于形如z=(x-a)2+(y-b)2的目標函數,可以看成是點(a,b)與平面區域內的點(x,y)之間的距離的平方,于是把原問題轉化為平面區域外的點到平面區域的距離的最值問題。

例4(2018·棗莊模擬)已知實數x,■y滿足約束條件≤4,則的最小值是( )

A.-2 B.2 C.-1 D.1

解析：作出不等式組對應的平面區域如圖4中陰影部分所示,的幾何意義是區域內的點P(x,y)與定點A(0,-1)所在直線的斜率,由圖可知當P位于點D(1,0)時,直線A P的斜率最小,此時的最小值為故選D。

圖4

三、求解線性規劃應用題的三個注意點

(1)明確問題中的所有約束條件,并根據題意判斷約束條件是否能夠取到等號。

(2)注意結合實際問題的實際意義,判斷所設未知數x,y的取值范圍,特別應注意分析x,y是否為整數、是否為非負數等。

(3)正確地寫出目標函數并化簡,注意目標函數一般為整式的形式。

例5某玩具生產公司每天計劃生產衛兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個,生產一個衛兵需5分鐘,生產一個騎兵需7分鐘,生產一個傘兵需4分鐘,已知總生產時間不超過10小時。若生產一個衛兵可獲利潤5元,生產一個騎兵可獲利潤6元,生產一個傘兵可獲利潤3元。

(1)試用每天生產的衛兵個數x與騎兵個數y表示每天的利潤ω(元);

(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?

解析：(1)依題意每天生產的傘兵個數為100-x-y。

所以每天的利潤ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300。

目標函數為ω=2x+3y+300,作出可行域,如圖5中陰影部分所示。

圖5

作初始直線l0：2x+3y=0,平移l0,當l0經過點A時,ω有最大值,由

所以最優解為A(50,50),此時ωmax=550元。

故每天生產衛兵50個,騎兵50個,傘兵0個時利潤最大,且最大利潤為550元。

評注：(1)解不含實際背景的線性規劃問題的一般步驟：①畫出可行域;②根據目標函數的幾何意義確定其取得最優解的點;③求出目標函數的最大值或最小值。

(2)解決實際問題中的線性規劃問題,關鍵是確定兩個變量x,y,其基本方法是看求解目標是受哪兩個變量制約的,這兩個制約求解目標的變量就是x,y。在確定了這兩個變量后,再根據一些限制條件列出不等式組和求解目標,然后按照一般線性規劃問題的方法求解即可。