不等式恒成立問題，你會解嗎？

■廣東省汕頭市澄海蘇北中學 陳躍琳

★原題再現 一目了然

例1設f(x)=x2-2m x+2,當x∈[-1,+∞)時,f(x)≥m恒成立,求實數m的取值范圍。

解：設F(x)=x2-2m x+2-m,則當x∈[-1,+∞)時,F(x)≥0恒成立。

當Δ=4(m-1)(m+2)＜0,即-2＜m＜1時,F(x)＞0顯然成立。

當Δ≥0時,如圖1,F(x)≥0恒成立的充要條件為：解得-3≤m≤-2。

圖1

綜上,實數m的取值范圍為[-3,1)。

點評：設f(x)=a x2+b x+c(a≠0),(1)f(x)＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0;(2)f(x)＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0。若二次不等式中x的取值范圍有限制,則可利用根的判別式及對稱軸解題。

★舉一反三 一葉知秋

例2若對于任意實數m,關于x的方程l o g2(a x2+2x+1)-m=0恒有解,則實數a的取值范圍是

解：l o g2(a x2+2x+1)-m=0恒有解?y=a x2+2x+1能取遍一切正實數。

因此,a=0,或

點評：解題的關鍵是將方程有解問題等價轉化為y=a x2+2x+1能取遍一切正實數,二次項系數含有參數,需要進行分類討論。

★反饋溝通 一絲不茍

例3已知函數f(x)=|x2-4x-5|,若在區間[-1,5]上,y=k x+3k的圖像位于函數f(x)的圖像的上方,求k的取值范圍。

解：本題等價于一個不等式恒成立問題,也即對于?x∈[-1,5],k x+3k＞-x2+4x+5恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化為求函數的最值問題。對于?x∈[-1,5],k x+3k＞-x2+4x+5恒成立?對于?x∈[-1,5]恒成立。令,x∈[-1,5],設x+3=t,t∈[2,8],則,當t=4,即x=1時,ymax=2,k的取值范圍是k＞2。

點評：本題通過分離變量,將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題。本題中構造函數求最值對同學們來說有些難度,但通過換元后可巧妙地轉化為“對鉤函數”,從而求得最值。

★觸類旁通 一網打盡

例4已知,當x∈[1,+∞)時,f(x)的值域是[0,+∞),試求實數a的值。

解：本題是一道恰成立問題,相當于的解集是x∈[1,+∞)。

當a≥0時,由于當x≥1時,f(x)=,與其值域是[0,+∞)矛盾。

當a＜0時,上為增函數,所以f(x)的最小值為f(1)。令f(1)=0,即1+a+2=0,a=-3。

綜合可得a=-3。

點評：不等式恰好成立問題的處理,體現了方程與不等式之間的聯系。