高中數(shù)學課堂引導學生說數(shù)學的幾點嘗試

黃清鈿

（大田縣第五中學，福建 大田 366100）

數(shù)學是一門抽象性、邏輯性、科學性、嚴密性很強的學科。一些學生由于不能很好地理解數(shù)學而沒能學好數(shù)學?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》指出：“數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質(zhì)教育的功能”“高中數(shù)學課程面向全體學生，實現(xiàn)：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。”怎樣讓學生在數(shù)學課堂里均能獲得適合的數(shù)學教育呢？這是數(shù)學教師應研究的課題。筆者就此進行探索，認為引導學生說數(shù)學是學生獲得高中數(shù)學教育的有效途徑。

一、在數(shù)學概念教學中引導學生說數(shù)學

數(shù)學概念是數(shù)學的基礎和起點，概念沒有理解清楚就不能很好地理解后續(xù)的數(shù)學原理。但許多數(shù)學概念都很抽象，學生理解時常出現(xiàn)一知半解或者理解錯誤。課堂教學要讓學生理解好一個數(shù)學概念，教師一般都會將概念講得詳細通俗，并舉了相應的例子，學生聽得明白，也可接受，但難以獲得“刻骨銘心”的記憶，因為接受式的學習是被動的，沒有經(jīng)過學生自己大腦的思維加工，這種學習的記憶是暫時的，對知識的應用也缺乏靈活性。因此，要讓學生較徹底地理解概念和靈活地應用概念，就必須讓學生對所學概念經(jīng)過自己大腦的思維加工，并經(jīng)過出錯、糾錯、用對的循環(huán)過程。課堂上可以先安排學生看課本，然后提問學生閱讀后對概念的見解，再根據(jù)學生的回答提出辨析式的問題讓學生說，教師點評。例如，在教《函數(shù)的奇偶性》一節(jié)，可讓學生先看課本中的內(nèi)容，然后安排以下兩個環(huán)節(jié)讓學生說數(shù)學：

環(huán)節(jié)1（說閱讀見解）：

師：本節(jié)內(nèi)容主要講什么？你通過閱讀課文收獲了什么？

生1：本節(jié)內(nèi)容主要講偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念及其圖象性質(zhì)。我的收獲是知道了偶函數(shù)的特點是f(-x)=f(x)，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的特點是f(-x)=-f(x)，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱。

生2：判斷一個函數(shù)的奇偶性關鍵看f（-x）與f（x）的關系，若f(-x)=f(x)，則此函數(shù)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則此函數(shù)為奇函數(shù)。

環(huán)節(jié)2（說辨析式問題）：

師：多數(shù)同學都贊同前面兩位同學的見解，他們的見解是不是都對呢？結(jié)合你的見解回答以下問題。

（1）y=x2，x∈［-2，3］，是偶函數(shù)還是奇函數(shù)？為什么？

生3：是偶函數(shù)，因為f(-x)=f(x)。

（2）如果函數(shù)f（x）=ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為［a-1，2a］，求a，b.

生4：因為 ，所以ax2－bx＋3a＋b=ax2＋bx＋3a＋b，得b=0，a≠0。

（3）如果函數(shù) f（x）是定義在R 上的奇函，當 x≥0時，f（x）=x2+x，那么當x＜0時，求f（x）解析式。

生5：因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函，所以，得f（x）=-x2-x。

學生在回答這幾題時往往出錯，主要原因是對偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義中“對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意一個x”并沒有真正理解。學生判斷一個函數(shù)的奇偶性往往只關注函數(shù)式是否具備f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)而忽略了定義域的對稱性。對于學生的錯誤，教師進行講評糾錯，再讓學生練習鞏固。這樣，學生真正理解了函數(shù)奇偶生的定義。

二、在公式定理教學中引導學生說數(shù)學

高中數(shù)學絕大多數(shù)的公式和定理是高考重點考查的內(nèi)容，學生必須掌握。學生在學習公式定理時要弄清知識的來龍去脈，領會公式定理的本質(zhì)，從本質(zhì)上把握定理公式的內(nèi)容以及其中所蘊含的數(shù)學思想方法。在公式定理的教學過程中，一些教師容易產(chǎn)生“一背二套、公式加例題”的形式，認為學生會套用公式定理，增加解題訓練就可以掌握所學的公式定理。這種學習公式定理的方法是被動機械的，學生表面上通過訓練也能解答一些相關的題型，但題型變化，題目中的條件或結(jié)論改變了，一些學生就束手無策。究其原因是學生沒有弄清公式定理的來源，沒有經(jīng)過自己的思維推導論證，忽略了其本質(zhì)所在。要讓學生掌握公式定理的本質(zhì)，教師在教學過程要不斷設問，引導學生弄清公式定理的形成過程和蘊含的思想方法。學生在回答教師的提問中或?qū)蝈e或產(chǎn)生新的問題，通過課堂師生互動加深了對公式定理的理解。例如，在教《等比數(shù)列的前n項和》一節(jié)，可先組織學生閱讀課文10分鐘，然后叫學生回答以下問題，并說出自己的想法：

（1）在國際象棋的棋盤上第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆麥粒，第3個格子里放4顆麥粒，第4個格子里放8顆麥粒，以此類推，那么從第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總和用式子怎么表示？如果一個等比數(shù)列的首項是a1，公比為q，那么這個數(shù)列的前n項和用式子怎么表示？

（2）寫出等比數(shù)列的前n項和公式，這個公式是怎么推導出來的？給這種方法起一個名字。

（3）從等比數(shù)列前n項求和公式的推導過程你得到什么樣的方法啟示？根據(jù)這種啟示你能否求出式子1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1之和？

學生因為已閱讀了課文，對前兩個問題的回答是比較順利的，但對第（3）問的回答就沒那么順了，這要從公式的推導過程提煉出方法，有的學生不能馬上悟到其中的規(guī)律。教師根據(jù)學生回答中存在的問題引導學生觀察課本中等比數(shù)列求前n項和公式的推導過程，進行師生對話、啟發(fā)，提煉出錯位相減法，然后讓學生模仿課本用錯位相減法糾正解答第（3）小題中的錯誤。學生這樣學習等比數(shù)列前n項和公式不僅能記住這個公式，還能記住錯位相減法。即使以后等比數(shù)列求和公式忘記了，但錯位相減法能記住，很快就可以推導出這個公式。

三、在典型例題教學中引導學生說數(shù)學

例題是教材的重要內(nèi)容，是數(shù)學概念、公式、定理、原理的解釋和應用，也是學生學習數(shù)學、解答數(shù)學題目的范例。例題教學的效果直接關系著學生課內(nèi)外數(shù)學作業(yè)完成的好壞，所以講好例題、用好例題是數(shù)學課教學的關鍵。一些教師對課本例題的處理是以講為主，講完之后進行變式或讓學生直接進行相關的練習，這也是一種接受式的教學，學生學習例題是被動的，學生的主體地位凸顯不夠。對于一些典型例題如果讓學生自主學習，即讓學生說例題，則會收到更好的效果。做法是給出一個典型例題先讓學生說出這個例題所蘊含的知識點、數(shù)學原理；說出題目的結(jié)構(gòu)和解題思路；說出解題的格式、步驟；說出多種解法和題目的變式。例如，人教版必修5第一章解三角形的1.2《應用舉例》的例9：在△ABC中，求證

這個例題蘊含著解三角形中的“邊化角”或“角化邊”的解題思想，是一個較典型的解三角形例題。在教學中可先讓學生試解，然后請學生說出以下內(nèi)容：

（1）說數(shù)學知識點：本例題需要用到哪些知識點？

（2）說題型解法：這是一個什么題型？要用什么方法下手？說出你的解題思路。

（3）說解題步驟：說出本例題的解題步驟，在書寫格式上要注意什么？

（4）說一題多解與變式：本例題你有幾種解法？請從課本或教輔書中找出3題與本例題解法相似的題目。

（5）說解題收獲：對于含有三角形邊角關系的題目，你的解題經(jīng)驗是什么？

學生在說的過程可能會說錯或說得不全面，教師要進行恰當引導或提示，讓學生自主總結(jié)出含有三角形邊角關系式題型的解題方法——邊化角或角化邊。這樣，學生通過做題、說題實現(xiàn)做一題會一類的目標。

四、在單元復習教學中引導學生說數(shù)學

復習是學生鞏固所學數(shù)學知識的必不可少的學習環(huán)節(jié)。單元復習、期末復習、高考復習是高中數(shù)學教學的重要組成部分，復習課上得好，學生不僅可以很好地鞏固所學的知識，而且還可提高復習效率和應用所學知識的能力。在復習課里，一些教師先對要復習的內(nèi)容引導學生梳理一遍，然后講一兩個例題，最后讓學生做練習，這樣復習也能讓學生達到復習鞏固的目的，但學生的自主性不夠，學生較難進入深度學習。數(shù)學學習需要將知識內(nèi)化，形成一種能力，才能用所學的數(shù)學知識解決問題。復習課讓學生說數(shù)學可以促進學生深度學習，提高復習效率。筆者嘗試在單元復習課將學生分為每三個人一組讓其去“備課”，每組三個人分別記為A、B、C。A負責備基礎知識，將這節(jié)課要復習的知識點進行梳理歸納，講給他人聽；B負責備例題，選擇所復習內(nèi)容有代表性的典型題目進行講解；C負責歸納所復習內(nèi)容的主要題型及其解題規(guī)律進行分享。上課時每個小組學生坐在一起，按A、B、C順序進行講課，即每個人把自己備課的內(nèi)容講給其他兩人聽，接受另兩人的質(zhì)疑，有不同觀點三人討論解決，討論不能解決的請教師幫忙。有時也請某一小組在班級展示，接受全班學生點評、提問。例如，人教版必修2的第四章《圓與方程》的單元復習課筆者選擇了一個“備課”小組，安排2個課時讓其在班級展示本組的“備課”成果（提綱部分）：

生A（說基礎知識）：圓方程的兩種表示；直線與圓的三種位置關系；圓與圓的五中位置關系；空間直角坐標系。

生B（說典型例題）：例1：課本P120例3求圓的方程；例2：課本P127例2求與圓相交直線的方程；例3：課本P133習題4.2A組第11題求與已知圓相切于已知點的圓的方程。

生C（說題型解法）：用圓的標準方程或一般方程求圓的方程；求與圓有關的軌跡方程（直接法、定義法、幾何法、相關點代入法）；有關弦長問題（幾何法、代數(shù)法）；過一點求圓的切線方程（已知點在圓上和在圓外兩種情況）；判斷直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系（幾何法、代數(shù)法）；空間直角坐標系（圖示法）。

學生在展示過程教師和其他學生要進行評議、質(zhì)疑，其他組有更好的內(nèi)容補充，要鼓勵學生參與補充。

五、在試卷講評教學中引導學生說數(shù)學

考試是高中數(shù)學教學的必要環(huán)節(jié)，通過考試可以了解學生階段學習的情況，以調(diào)整下階段的教學內(nèi)容和進度。有考試就要有講評，講評試卷的目的是幫助學生糾錯，鞏固階段所學的內(nèi)容，提出下階段學習要求。但一些教師在試卷講評課中從第一題講到最后一題，目的是給出試卷的各題答案及解法，未在解題能力、總結(jié)能力、反省能力等方面做一些提升工作，講評課的效率不高。高中學生接近成年，有較強的獨立思考能力和表現(xiàn)能力，如講評課讓學生來講有時會收到意想不到的效果。在上講評課之前教師要對全班試卷進行全面分析，找出學生的易錯題、多錯題和階段考查的重點題，課堂上一方面指定一些“錯誤代表”到講臺前將自己的答卷用投影儀展示后介紹自己的錯解思路和糾錯情況，如果主講學生不能說出自己的糾錯情況，可求助其他同學幫忙說或請教師幫忙說；另一方面，對一些重點題則請一些優(yōu)秀學生來講評，先將其答卷用投影儀展示，然后讓其說解題思路、解題方法、相似題型、變式情況。如果一個學生說不完整可安排多個學生補充或教師適時提示補充。

安排學生“講評”試卷要事先進行布置，一是自我糾錯，對試卷中的錯誤進行訂正，分析錯誤原因；二是歸納總結(jié)，對試卷中做對的題及糾錯過的題進行歸納總結(jié)，整理出題型類別，總結(jié)出同一題型的解題方法；三是變式延伸，對試卷中的重點題進行變式延伸，聯(lián)想相關知識、相關題型。這三項任務可讓學生課前完成，也可安排一節(jié)課指導學生完成，第二節(jié)課再讓學生展示研究成果。展示時應先讓學生在前后桌的三四人小組中交流，教師巡視，然后選擇有代表性的學生上臺展示，師生點評。