一道中考壓軸題的多變思考與教學建議
——以“2013年湖南長沙中考數學卷的壓軸題”為例

陳惠增

（福清市高山育才中學，福建 福州 350300）

中考壓軸題是難度較大的綜合題,重在考查學生分析問題和解決問題的綜合能力，歷年各省市的中考壓軸題不但體現命題專家的智慧，而且通過試題為載體更能體現命題者對課標與教材的理解，作為一線的教師應該對試題深入剖析與思考，提出解決此類題目的教學建議，提升學生解題能力，培養學生的“四能”（即分析問題、解決問題、發現問題、提出問題）。下面是筆者對“2013年湖南長沙中考數學卷的壓軸題”的多變思考，并談一些教學建議，供同仁們參考。

一、原題的多變思考

1.原題的分析思考

“2013年湖南長沙中考數學卷的壓軸題”（以下簡稱“原題”）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=－x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，動點P（a，b）在第一象限內，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點E，點F，當點P（a，b）運動時，矩形PMON的面積為定值2．

（1）求∠OAB的度數

（2）求證：△AOF∽△BEO

（3）（略）

【略解】（1）因為直線 y=-x+2，所以 A（2，0），B（0，2），則 OA=OB=2．因此∠OAB=45°；

（2）因為四邊形OMPN是矩形，

圖1

則△AOF∽△BEO；

【評析】（1）當x=0或y=0時分別可以求出y的值和x的值就可以求出OA與OB的值，從而就可以得出結論；對于直線y=kx+b與x軸、y軸的夾角問題與k的關系，特別指出當k=±1時，求直線y=kx+b與+x軸、y軸與夾角的度數。

2.原題的多問思考

多問1：求∠EOF的度數。

【略解】△AOF∽△BEO，則∠AOF=∠BEO，而∠AOF=∠EOF+∠AOE，∠BEO=∠OAB+∠AOE，所以 ∠EOF=∠OAB=45°。

【聯想】北師版《義務教育教科書·數學》九年級上冊P90的第4題（以下簡稱“聯想題”）：如圖2，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子（圖中的所有點、線都在同一平面內），請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并說明它們相似的理由。

【評析】通過這兩道題目的類比，可發現兩題的圖形結構特征相似，都能求證出△AOF∽△BEO，但證明三角形相似的方法不同，此道聯想題是通過“兩角分別相等”的方法證明三角形相似。

多問2：如圖3，已經求得∠EOF=45°。求證：AE2+BF2=EF2。

圖2

圖3

【略解】證法1：（旋轉法）

如圖4，把△OFB繞點O順時針旋轉90°，點F與F′對應，點B與點A重合，可證明△OF′E≌△OFE，在Rt△AEF′中，AE2+AF′2=EF′2，即 AE2+BF2=EF2成立。

圖4

圖5

證法2：（折疊法）

如圖5，把△OBF沿線段O F折疊，B點與B′對應，可證△OB′E≌△OAE，

在 Rt△EB′F 中，EB′2+FB′2=EF2，即 AE2+BF2=EF2成立。

證法3：（代數法）

由△AOF∽△BEO得OA·OB=AF·BE，

即OA2=AF·BE，所以AB2=2A F·BE，

因為 AB2=（AE+EF+BF）2=AE2+EF2+BF2+2AE·EF+2AF·BF+2EF·BF，2AF·BE=2（AE+EF）（BF+EF）=2AE·BF+2AE·EF+2EF·BF+2EF2。

即AE2+BF2=EF2成立。

證法4：（坐標法）

如圖6，由P（a，b）及直線y=－x+2，可得A（2，0），E（a,2-a ）,F（2-b,b）,B(2,0),

由勾股定理可得：

EF2=PF2+PE2；即 EF2=2（a+b-2）2=2a2+2b2+4a b-4a-4b+8

BF2=BN2+NF2，即 BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8

AE2=AM2+EM2，即AE2=2(2-a)2=2a2-8a+8

又ab=2，所以AE2+BF2=EF2成立。

圖6

【評析】這三種證法中，前兩種主要以幾何思路為主，如何把在同一條線上的三條線段轉化構造一個直角三角形而得證；第三種代數解法是從式子的左右兩邊出發，以代數計算為主證明等式兩邊相等；第四種以點坐標呈現，也轉化成線段長，用勾股定理構造等式，通過計算得證，也應該是代數計算為主的證法。

3.原題與聯想題的類比思考

對于“原題”多問得到：AE2+BF2=EF2；而對于“聯想題”可繼續進行變式。

追問1：如圖7，分別過點E、F作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點M、N，PM與PN相交于點P，設OA=OB=2，等腰直角三角形OHG擺動過程中（點E、F都在斜邊AB上），矩形PMON的面積是否發生變化，若不變請求出矩形PMON的面積。

【略析】此題又回到“原題”，因此等腰直角三角形OHG擺動過程中（點E、F都在斜邊AB上），矩形PMON的面積不會發生變化，S=ON·OM矩形PMON

追問2：如圖7，分別過點E、F作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點M、N，PM與PN相交于點P，等腰直角三角形OHG擺動過程中（點E、F都在斜邊AB上），矩形PMON的面積不變，設OA=OB=2，矩形PMON的邊長ON為y，邊長OM為x，請求出y與x的函數關系式。

【評析】從上面原題與聯想題的類比思考，可得到只要對題目進行適當的“張冠李戴”會有不一樣的效果，因此解題教學要教會學生進行對比的“張冠李戴”。

圖7

圖8

4.原題的拓展思考

對原題適當的改變：如圖8，在平面直角坐標系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，動點 P（a，b）在函數x>0)的圖象上運動，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點E，點F。（1）求證：△AOF∽△BEO；（2）求∠EOF的度數。

拓展1：圖形變化，如圖8、如圖9，其他條件都不變，（1）求證：△AOF∽△BEO；

（2）求∠EOF的度數。

圖9

圖10

圖11

【評析】圖9、圖10都能用上面相同的方法求證△AOF∽△BEO，也能求得∠EOF=45°。雖然圖1、與圖2的證明方法與所求的結果都與原圖的一樣，但圖形畢竟不同，教學中一定要讓學生多見不同的圖形，這樣不但見多識廣，而且能進一步固化解題方法。

拓展2：如圖11，在平面直角坐標系中，直線y=-x+b與 x軸，y軸分別交于點A，點B，動點P（a，b）在函數0且k>0)的 圖 象上運動，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點E，點F。若△AOF∽△BEO，求b與k的關系式。

【評析】△AOF∽△BEO，則 ，

即OA·OB=AF·BE。

從上述求的一般性的結論“b2=2k”，可回頭進行特殊性的驗證，如當“b=2，k=2”時，則回到原題，當然還可進行其他特殊性的推廣，如當“b=3”時，要滿足其他所有條件下，若要△AOF∽△BEO，則因此從原題到拓展2的是特殊到一般的思考，這種思考性的變化，在解題中進行嘗試，會提升學生提出問題與發現問題的能力；而拓展2與原題的解題過程又是可逆的過程，常進行這方面的訓練會培養學生的全面思維能力。

二、析題解題的教學建議

對于中考壓軸題與其他課本大題解題析題的要求不一樣，畢竟中考壓軸題的綜合性較強，因此對于中考壓軸題的析題解題的教學到位，更會提升學生的“四能”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出：數學教學應根據具體的教學內容，創設問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得“四基”（即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力。

為了提高中考復習的效果，更為了提升學生的“四能”，對于中考壓軸題的解題教學應該遵循“五步”的基本套路。

1.理解題目。理解題目可分為“熟悉題目”和“深入理解題目”兩個階段。首先，必須理解該題目的語言陳述，弄清這些題目的“未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？”之后再深入理解題目，理解這些未知量與已知量之間的關系，從各個方面來考慮題目的主要部分。

2.擬訂方案。從理解題目到構思一個解題的方案也許是漫長而曲折的過程，解答一個題目的主要成就在于構思一個解題方案的思路，而這思路可能是逐漸形成的，教師能為學生所做的是引導學生獲得一個好的思路，為此必須能夠了解學生的狀況，教師應該認真回顧自己在解答此題目時遇到的各種困難和取得的各種成功。好的思路還來源于過去的經驗和以前獲得的知識。如求證“原題”的第2問題△AOF∽△BEO時，結合圖形聯想到“聯想題”的圖形，通過這兩道題目條件與圖形的類比，多次嘗試修改，從而擬定解決此題的方案。

3.執行方案。解題方案給出了一個總體框架，必須確認細節都符合這個框架，可以用“直覺的”或“形式的”證明確認每一步推理的正確性。如證明上述“原題”中△AOF∽△BEO時，從計算方法證BE·AF=OA·OB，再通過“兩邊成比例且夾角相等”證△AOF∽△BEO相似，這其中的每一步都得“言之有據”。

4.回顧思考。從執行方案得到解答，檢查每一個步驟，盡管如此，錯誤總是有可能存在的，因此需要進行驗證，而驗證可以不同的方式進行。通過回顧思考讓學生明白，數學題之間是相互聯系的，并讓學生意識到回顧思考是很有收獲的。

5.反思總結。對于中考壓軸題的解題教學，更應該讓學生進行反思總結，應該從知識、方法、拓展三個方面進行總結。如以“原題”為例：（1）本題涉及知識。一次函數、矩形、平行線性質、勾股定理等；（2）本題涉及的方法。分析法與綜合法、特殊與一般、數形結合；（3）本題拓展。從上述拓展可進行縱向的多問拓展，還可進行橫向的類比拓展。

對“原題”的再分析與思考，不但培養學生“四能”，即分析問題、解決問題、發現問題、提出問題，還能對中考壓軸題的解題教學提供一些教學建議。