應用《幾何畫板》開展數學探究式教學的途徑與方法

余明芳 王欽敏

（福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

《幾何畫板》（The Geometer′s Sketchpad）軟件平臺可以讓操作者精確設定幾何對象的位置關系，簡易追蹤點與直線的運動軌跡，直接觀察含參數對象的變化規律，自由地進行構圖與動畫試驗，因而在幾何、解析幾何與函數等章節的探究式教學中，都有廣泛的應用。教學實踐表明，應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，可以有效調動學生學習積極性，讓數學變得更有趣味，更易于理解，并且，它也很有利于培養學生的數學探究與發現能力。

應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，需要教師認識《幾何畫板》軟件的各項功能，善于在日常課堂作示范，潛移默化地提高學生的平臺操作能力。同時，還需要教師在課堂上秉持運用信息技術輔助教學的理念，依據教學實情，立足教材，合理地改造與拓展教材內容，［1］使《幾何畫板》與數學的課程內容和教學方式得以深度融合。這也是應用《幾何畫板》開展數學探究式教學的主要途徑與方法。下面以高中數學《橢圓》章節教學為例進行詳細說明。

一、改造教材內容，使之適合學生在《幾何畫板》進行實驗與探究

適合運用《幾何畫板》開展探究式教學的教材內數學概念知識，其生成與拓展的過程大多可在畫板平臺通過順次構圖，順理地進行多方位的實驗與探究，但教材教學內容的編排未必會按同樣的次序，也未必都是或比較完整地給出與畫板功能相契合的知識內容。因而，應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，大都需要對教材內容進行較大幅度的改造，使之適合學生在《幾何畫板》進行實驗與探究。例如，有關橢圓的概念知識，是很適合運用《幾何畫板》引導學生深入探究的內容，［2］為使軟件技術與教學課程有更多融合，首先需要對教材進行合理改造。

在《橢圓》這一章節教學中，橢圓的圖象與概念是一個核心知識，教材的知識推演與例習題安排大都是圍繞著這個核心進行的。如人教社A版教材首先是用一個系有鉛筆的繩索作畫圖試驗，然后給出橢圓的定義，之后安排的許多例習題都與橢圓的作圖問題有關。因而，結合教材“信息技術運用”部分的“用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓”內容，適當改造并整合教材內容，引導學生在《幾何畫板》探求橢圓的多種作圖方法，可以讓學生理解有關知識和各例習題間的邏輯關系，更深刻地認識橢圓外在的圖形特征與內在的性質規律。

在《幾何畫板》軟件中畫橢圓的方法很多，學生一般會先仿照教材中用繩索來做試驗，根據橢圓的定義畫出橢圓（如圖1），其步驟如下：

圖1

1.在x軸上取兩個關于原點對稱的點F1、F2，以之為橢圓的兩個焦點；

2.在圖形外作一條線段AB，使|AB|＝2a(|AB|>|F1F2|）；

3.在線段AB上任取一點P，構造線段PA、PB；

4.以點F1為圓心、|PA|長為半徑作圓，再以點F2為圓心、|PB|長為半徑作圓，兩圓相交于點P1、P2；

5.依次選中點P、P1，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，作出橢圓的上半部分，再依次選點P、P2，作出橢圓的下半部分（如圖1所示）。

對于已基本掌握《幾何畫板》作圖方法的學生，以上操作步驟是簡單平易的。但學生在仿照過程中能結合軟件功能進行獨立的數學思考，在實際操作中手腦并用，對橢圓定義與圖形的印象會更加深刻；作完圖后的實踐性體驗與成功喜悅也會增添一些學習樂趣，同時還可以提高學生運用軟件研究數學的信息技術素養，可謂一舉多得。在學生完成以上工作后，需要繼續引導學生結合教材的例習題內容尋求新的作圖方法。

教材例2也是生成橢圓的一種基本方法，可以引導學生按其提示依次作圖，并通過方程證明所畫的圖形是與定義相符的橢圓。為使學生理解這種畫法的思路產生過程，在教學中，教師不妨用圓形鐵線圈做一個直觀演示，然后給學生作這樣的提示：由于橢圓1(a>b>0)上任一點的坐標可表示為（acosθ，bsinθ），而圓上任一點的坐標可表示為（acosθ，asinθ），因而，只要將圓上的點的縱坐標asinθ變換為bsinθ，即可將圓變換為橢圓。在這一提示下，學生可以找到以下畫法：

圖2

1.以坐標原點O為圓心，分別以a、b(a>b>0）為半徑畫兩個圓；

2.在大圓上任取一點P，過點P作PN⊥Ox軸，垂足為點N；

4.選中點P，用“變換”菜單中的“縮放”功能，將點P按標記比縮放得到點M；

5.依次選中點P、M，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，畫出橢圓（如圖2所示）。

以上改造使《幾何畫板》能融入課程，讓學生對圓與橢圓的圖形關系，以及它們在參數方程式下的統一性有了明確認識。同樣地，教師可以將教材例3改造為適合學生在《幾何畫板》上作圖的課程，讓學生直觀具體地體驗豐富多彩的橢圓生成方式，以激發學生的好奇心，提高學生的想象力，深刻認識橢圓概念的內涵與圖形的由來。

在應用《幾何畫板》開展數學探究式教學時，要使技術在課堂有更廣闊的可用武之地，需要盡量多地將教材內容改造為適合學生在《幾何畫板》進行實驗與探究的課程。比如，教材“信息技術運用”部分的“用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓”內容，并未給出用《幾何畫板》軟件的作圖過程，就需要我們將其內容改造為作圖問題，啟發學生按以下步驟作圖：

圖3

1.在平面中作兩條相互垂直的直線l與r，設其交點為C；

3.計算，在直線l上找到點F，使|CF|

5.以點F為圓心，以e·|CM|為半徑作圓，設圓與過點P且垂直于l的直線相交于點P、Q；

6.依次選擇點M、P，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，作出橢圓的上半部分，再依次選擇點M、Q，作出橢圓的下半部分（如圖3所示）。

應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，需要引導學生逐步掌握《幾何畫板》軟件的操作技術，學生操作水平的提升，往往也意味著數學思維能力得到進步，探究精神得到發展。在以上作圖過程中，第4、5兩個步驟是關鍵，它使得動點P到定點F和定直線r距離之比始終保持為定值e，引導學生對此進行想象與構造，不僅可以提高學生的畫板制作技術，同時也可以培養學生數學思維的靈活應變能力，以及勇于探索的進取精神。

立足教材改造教材內容，使課程適合學生在《幾何畫板》進行實驗與探究，才能使技術與課程產生較多的交匯與融合。因而，利用《幾何畫板》開展數學探究式教學，需要“以課本為本”，關注教材編寫意圖，圍繞章節知識和思想組織教學的同時，還要不拘泥于固化的教材，反對“照本宣科”式的低級教學，深入研究教材與學情，從整體上把握教學內容與教學策略，靈活多變地對教材的內容與結構進行有益的改造，將信息技術深度融合到課程主題與具體內容,讓學生能以《幾何畫板》為工具對知識進行重構。

二、拓展教材內容，以充實豐富畫板平臺上開展的探究式教學課程

為促成幾何畫板與數學探究式教學的深度融合，需要因材制宜地改造教材內容，使其成為適合學生在畫板平臺進行實驗與探究的問題。為了能將這些問題重新組織成一個充實豐富的探究式課程，還需要廣開思路拓展教材內容，增添更多有意義的探究教學素材與問題。例如，在按上述方式將教材例2的內容進行改造后，教師可順水推舟地提出以下問題：如果將橢圓上任一點（acosθ，bsinθ）的橫坐標acosθ看作是圓x2+y2=a2(b>0)上某一點的橫坐標，將其縱坐標bsinθ看作是圓x2+y2=b2(b>0)上某一點的縱坐標，是否可以得到一種新的畫法？通過不斷地提示和啟發，學生有可能在畫板上采用以下步驟作圖：

圖4

1.以坐標原點O為圓心，分別以a、b(a>b>0）為半徑畫兩個圓；

2.在大圓上取一點A，連接OA與小圓交于點B；

3.過點A作AN垂直于Ox軸，垂足為點N；作BM垂直于AN，垂足為點M；

4.分別選中點A，M，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，畫出橢圓（如圖4所示）。

在圖中，|ON|＝acosθ，|NM|＝bsinθ，因而點M的軌跡是一個橢圓。這一拓展和延伸的內容涉及很多教材已刪減的橢圓輔助圓問題。在教學中是否要增補教材已刪減的部分舊教材內容，是很多教師頗感為難的事。類似這樣通過拓展將其增補為一個課堂探究問題，是一種比較合適的方法，它讓學生認識到橢圓的又一種生成方式，進一步體會到圓與橢圓知識間的緊密聯系，促進了學生關于知識的“關系性理解”［3］，同時還提高了學生的學習興趣，充實了應用《幾何畫板》開展的探究式教學課程內容。

靈活多變地將教材知識內容改造為適合學生在畫板平臺進行實驗與探究的問題，可以讓學生通過畫板軟件平臺的操作演練，更有體驗感地參與數學的發現與探究，學習的積極性得到激發，好奇心與想象力得到培養，學習興趣得到提升。基于改造所得課程，依探究主題進一步加以拓展與延伸，可以讓探究式教學內容更加充實與豐富，能更多維度地呈現數形內涵之美，強化學生的求變意識與轉化能力，深度激活學生思維，更好地培養學生的數學發現與探究能力。例如，為引導學生繼續探究發現更多畫橢圓的方法，在學生懂得根據橢圓定義“橢圓上的任一點到兩焦點的距離之和等于定值2a”畫橢圓之后，可提示學生把定義中的定值2a看作是某個圓的半徑長度，設法將如圖所示的圓半徑F1P“化直為折”，轉換成長度不變兩端點固定在x軸上的折線段F1MF2，然后讓點P在圓上作圓周運動，通過畫出點P的伴隨動點M的軌跡畫出橢圓，得到以下畫法：

圖5

1.在x軸上取兩個關于原點對稱的點F1、F2，以之為橢圓的兩個焦點；

2.在圖形外作一條線段，使它的長度為2a（2a>|F1F2|）；

3.以點F1為圓心、2a長為半徑作圓，在圓上任取一點P；

4.連接PF1、PF2，作PF2的中垂線與PF1交于點M，連接MF2；

5.依次選中點P、M，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能畫出橢圓（如圖5所示）。［4］

這個畫法依據的仍是橢圓定義，但需要學生能使用“倒溯法”進行構思與設想：設想將MP折到MF2位置，視點F2為橢圓的右焦點，由|MP|＝|MF2|推斷點M在線段 PF2的中垂線上 ，因為|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|F1P|＝2a，故點M到兩個定點F1和F2的距離的和等于定長2a，其軌跡是一個橢圓。上述拓展內容充實并豐富了探究式教學課程，能讓學生在構思設想中產生靈感與頓悟，感受數學思維之美，［5］經歷有別于日常解題活動的思考與想象。

數學探究式教學倡導學生主動參與、勤于動手、樂于探究，致力使學生體驗數學發現和創造的歷程，形成積極主動的個性化學習方式，養成獨立思考和積極探索的思維習慣，以便能改變日常教學中過于注重接受學習、死記硬背和機械訓練的不良現狀。因此，應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，需要廣開思路拓展教材內容，使《幾何畫板》與數學的探究式課程、教學進一步融合,以創造更多的機會讓學生在實作演練中親歷探究，從而能更有力度改變常規的教學結構,營造實踐型的教學環境，讓學生真切認識數學概念和結論的產生過程，親自體驗創造激情，增強創新意識。

應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，教學的重心仍在于培養學生數學發現與探究的能力，以及促進學生的數學理解，增強學生關于數學理論知識的創新意識。對橢圓章節教材進行上述的改造與拓展，教學的主題是引導學生探討在《幾何畫板》畫橢圓的具體方法，幾何畫板與數學探究式教學獲得較有深度的融合。橢圓畫法繁多，可選擇有助于促進后續學習進程的，能揭示知識間主要關系的畫法作為拓展的內容，這種拓展能幫助學生理清新舊知識間的復雜關系，更深入地理解數學，提高數學發現與探究的能力。

對教材進行拓展，不可過多地脫離教學要求與教學實情。如果拓展所得內容與教學要求相離甚遠，就需要思考是否可以棄之不用；如果教學用時比較緊張，就需要調整拓展內容的長度；如果學生的學習基礎和探究能力比較薄弱，就需要控制拓展內容的難度。如在設計“用《幾何畫板》畫橢圓”的教學內容時，采用了以上兩個拓展內容后，已基本可以滿足學生學習和理解的需求，更多的畫法當留給學有余力的學生在課后繼續探究，如果要在課堂上引導學生繼續應用《幾何畫板》對橢圓概念知識進行探究，就要尋找一個更為合適的問題。比如，探究了橢圓的畫法之后，橢圓的定義仍是一個需要深入思考的核心內容，教師在教學中可就此問題引導學生繼續使用《幾何畫板》進行探究。

圖6

橢圓是到兩個定點的距離之和為常數的點的軌跡，這是學生普遍難以理解的一個新概念，大部分學生都會不由自主地想到，如果把其中的“和”改為“差”“積”“商”，軌跡就應當不再是橢圓了，那又是什么曲線呢？通過畫板的操作演示，圍繞學生的這一疑慮展開探究，讓學生明白到兩個定點的距離之差為常數的點的軌跡是雙曲線，到兩個定點距離之比等于定值（不等于1）的點的軌跡是圓，到兩個定點距離之積等于定值的點的軌跡是卡西尼卵形線（如圖6所示），有利于開闊學生的思維空間，更多地把握概念知識關系，因而也是教學中對教材進行的一個有益拓展，可以進一步充實與豐富探究式教學課程內容。

通過類比聯想，將上述兩個定點中的一個改為定直線，探究到定點與定直線的距離之比（或和、差、積）等于定值的點的軌跡問題，是一個很自然的思路，能讓學生通過畫板操作以可接受的方式獲得橢圓的第二定義，進而獲得拋物線和雙曲線的第二定義，以及這三種圓錐曲線統一定義。學生在畫板上進行這些實際操作，可以直觀認識三種曲線的互化關系和統一性，直觀感受不同圖形連續變換的奧秘與奇妙。

以上內容都是以幾何基本元素（點、直線）的相互關系為考察對象的，它們都以距離為紐帶，以運算為方法，通過運算中的不變性發現規律，給出定義。由于在平面直角坐標系中，動點P(x,y）與定點A(－a,0）和B(a,0）的連線的斜率之積是常數－1時，其軌跡為圓，因而在探究過程中，教師可進一步地啟發學生以角度換距離，通過運算發現以下規律：平面直角坐標系中，動點P(x,y）與定點A(0,－b）和B(0,b）的連線的斜率之積是時，其軌跡是橢圓；動點P(x,y）與定點A(－a,0）和B(a,0）的連線的斜率之積是時，其軌跡是雙曲線。

以上拓展內容大多是以類比聯想方式進行推廣的結果，填補了對教材內容進行改造時產生的缺漏與不足，使課程教學內容得到充實與豐富，可以供學生在《幾何畫板》進行實驗操作，使課堂能在更多場合運用幾何畫板的技術功能，達到進一步培養探究能力增強創新意識的目的。

三、結語

在應用《幾何畫板》開展數學探究式教學中，通過改造教材內容使之適合學生在《幾何畫板》進行實驗與探究，通過拓展教材內容以充實豐富畫板平臺上開展的探究式教學課程，才能讓《幾何畫板》與數學課程及教學得以深度融合，成為教師開展探究示范教學、學生進行探究性學習的有力工具，［6］從而深刻改變數學課堂教與學的方式。眾多教學實踐與觀察表明，應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，可以在課堂上賦予教師更多的教學激情，其所開啟的現實性的數學探索實踐活動也會讓學生的學習變得積極主動、樂意投入，更易于理解探究過程中涉及的數學概念知識間的關系，更易于整體把握數學理論知識的體系與結構，更易于從數學思想方法的層面審視數學思維方式問題。

應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，是信息技術與數學課程的融合，也是信息技術與數學教學模式的融合，它可以促使學習者的概念與經驗、邏輯與直覺、理智與情感、方法與思想得以同步融合。［7］“填鴨式灌輸教學”與“機械化題海戰術”是當前數學教學中存在的常見現象，“學不入迷”“懂而不會”“認識低下”是學生數學學習中的突出問題，應用《幾何畫板》開展數學探究式教學，可以讓數學教學擺脫枯燥的運算與邏輯思維訓練，可以更好地激發學生的好奇心與想象力，增強學生的學習內驅力培養學生的數學學習興趣，可以充分發揮計算機的數學探索實驗功能，培養學生發現與提出數學問題的能力，從而更全面地體現數學教育的內涵和價值。