指向能力立意的高考數學復習策略

黃炳鋒

（福州第三中學，福建 福州350003）

1999年2月，教育部在《關于進一步深化普通高等學校招生考試改革的意見》中指出：高考數學卷命題要“更加注重對考生能力和素質的考查”“在試題設計上增加應用型和能力型的題目”，“能力立意”的命題指導思想自此確立。近二十年過去了，這一指導思想在高考復習的實踐中貫徹得如何呢？筆者觀察發現，情況并不樂觀。許多教師仍然采用“知識立意”命題指導思想的做法，缺乏“問題意識”和“能力目標”，花費大量時間用于知識點復習。為了提高復習效率，章建躍教授提出“能力立意，問題導向，基于測評，追本溯源，精準高效，大幅提分”的核心理念，并依托中國教師研修網、中國教研網開展“基于測評的高考數學復習改進研究”課題研究，多次舉辦“能力立意，基于測評”引領下的高考數學復習課例研究活動，探索“能力立意”的高考數學復習之法。

一、以梯度問題為線索規劃內容

高考數學復習首先要解決“教什么和學什么”的問題。毫無疑問，教學內容的確定比“怎么教”更重要。而高考數學復習的現狀是，教輔書承包了教學內容和邏輯順序，有的教輔書甚至還提供了教學課件和相應的測試訓練以及參考答案，教師在教學時不考慮教學內容選擇的適當與否，缺乏對針對性、代表性問題的思考，也沒有為能力提高而進行梯度設計，教學過程照本宣科，三輪復習的教學內容不斷重復。

“能力立意，問題導向”的高考數學復習，首先要在研究近年高考試題的基礎上，將高考數學考查的內容劃分為若干板塊，然后針對每一板塊的高考試題以及相應的能力要求，采用“追本溯源”的方式，將它們按題型特征和考查特點分成若干個考查問題，并依據必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值等設計每個考查問題，最后根據考查問題規劃數學復習教學內容，以通性通法為核心展開復習教學。數學復習時要拋棄“先學基礎知識和基本技能，然后逐步組合，最后才能綜合運用”的傳統教學思維，不把板塊知識內容拆解成零碎的知識點、公式和定理，而是要有問題意識，進行單元教學設計，通過具體的考查問題設計串聯起必備知識，在問題解決中培養關鍵能力、滲透數學思想、提升核心素養。

每一板塊的考查問題承載著三輪復習需要的具體能力要求，以及考查的數學思想方法和數學學科核心素養。為了達成這個目標，復習過程中需要分解考查問題的教學目標，將能力要求分層設計，以梯度問題為線索規劃教學內容。先將高考數學考查問題劃分為幾個小問題，每個小問題突出解決考查問題的一個核心內容及綜合運用的方法，成為第二輪復習重點攻克目標。每個小問題還可劃分為若干個具體問題，每個具體問題就是第一輪復習要解決的主要知識點和關鍵能力。值得注意的是，三輪復習的輪次劃分標準是能力的達成度，而不是時間節點或知識點多少，對于難度不大的板塊，教師基于測評做出判斷，可能出現直接帶領學生進入第二輪或第三輪復習的情況，即跳過具體問題直接進入以小問題或考查問題作為復習對象進行教學。考查問題、小問題與具體問題的層次關系如下：（如下頁圖1）

例如三角板塊，根據高考題型特征和考查特點，可以分成三個考查問題：1.利用正余弦定理、主要的三角公式、基本不等式等知識，通過轉化與化歸、函數與方程等思想，經過運算、推理，解三角形及有關問題。該考查問題在高考中主要以解答題形式出現。2：利用主要三角公式變形求值。該考查問題在高考中主要以小題形式出現。3：利用主要的三角公式變形，并根據三角函數的圖象或性質分析有關三角函數的圖象、性質或求值。該考查問題在高考中主要以小題形式出現。

圖1 考查問題、小問題與具體問題的層次關系

對于考查問題一，通過歸納發現此題主要考查解三角形和求與三角形有關量的問題。求解三角形有關量的問題的一般方法是把已知條件用三角形的邊、角表示為等量關系，通過變形推理求得結果；求解三角形的一般方法是根據已知條件，利用正弦定理、余弦定理、主要三角公式等，將已知條件轉化為關于三角形的邊或角方程，求出邊、角，進而求解。

依此可以設計三角板塊考查問題一、小問題與具體問題的層次關系如下：（如圖2）

圖2 三角板塊考查問題一、小問題與具體問題的層次關系

為了檢測教學是否達成目標，還需對具體問題、小問題與考查問題三個層級目標進行具體劃分（如表1）。達成目標層級一，即可進入第二輪復習，同樣，達成目標層級二，即可進入第三輪復習，目標層級三是三輪復習最終要達成的能力目標。

針對不同目標層級要求，分別設計若干個用于教學的考查問題、小問題和具體問題，以及難度相當的能力測評與目標檢測試題，示例如下。

考查問題：設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S。已知2S=a2-abcosC。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求S的最大值。

分析：這是一個求三角形有關量和面積最大值的考查問題。

表1 三角板塊具體問題、小問題與考查問題三個層級目標劃分

題（Ⅰ）根據求解與三角形有關量的一般方法，應利用正弦定理將已知含有邊與角的關系式“化同”為只含角的關系式，通過變形推理求B；

題（Ⅱ）根據三角形確定要素分析，在求出B的情況下，再給出b的值，并不能確定三角形，要求S的最大值，需要建立S關于某一幾何量（邊或角）的函數，用函數思想或基本不等式求解。

小問題：已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，且a2+c2-b2=ac。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若c=3a，求tan A的值。

分析：這是一個求三角形中的有關量的小問題。

根據此類問題的一般求解方法，題（Ⅰ）可直接運用余弦定理，通過變形求B；

題（Ⅱ）再加上一個關于兩條邊的關系式，不能確定一個三角形，要求tan A的值，可以從以下三個角度尋找解題思路：第一，從方程組的角度可以獲得三條邊的比例，借助余弦定理求cos A，進而得到tan A；第二，借助正弦定理，將邊的關系式轉化為角的關系，從而歸結為只含sin A和cos A的等式，進而得到tan A；第三，先用方程的思想確定邊的關系，達到化簡目的，再轉化為角的關系，先求sin A，進而得到tan A。以上三種思路的本質是利用正弦定理或余弦定理，通過方程的思想化歸為只含“邊”或“角”的關系式，這是求解“邊、角”問題的基本思路。

具體問題：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c。已知°，求b及A；

分析：這是一個利用正余弦定理解三角形的具體問題。

根據此類問題的一般解法，需要畫出草圖并根據條件判斷是否能確定這個三角形，然后再正確選擇公式列出方程變形推理，其中，公式的選擇是關鍵。本題已知兩邊和一夾角，可根據余弦定理先求對邊，再用余弦定理或正弦定理求角A。在確定的三角形中，已知兩邊和一對角常用正弦定理求解。因此，解題需對條件進行分析，并根據條件選擇正弦或余弦定理。

二、用五環節模式設計課堂教學

高考數學復習還要回答“怎么教和怎么學”以及“教得怎樣和學得怎樣”的問題，這些問題最終歸結為“學生在原有能力上有怎樣的提升”。“能力立意，基于測評”的高考數學復習，最典型的教學特點就是“基于測評”，教學有五個環節，過程如下：（如圖3）

圖3 教學五環節模式

環節一：能力測評

（1）適當改編一個考查問題（體現高考能力要求），讓學生閱讀思考，并限時解答。

（2）出示正確答案，對學生的解答進行反饋評價。

環節二：診斷分析

根據學生群體的診斷結果，借助考查問題的三層次劃分，引出考查問題所需要進一步研究的具體問題，出示課題。

環節三：典例精析

（1）選擇一個能解決這個具體問題的典型例題，進行分析求解，注意問題的分析、條件的價值，如對解三角，主要考慮幾何條件的理解，以及一般思維方法，注意核心知識的落實，方法的提煉，表達的規范。

典型例題教學時，應倡導“延時判斷、適時概括”的教法，延時判斷就是給學生充足的時間，給學生留下判斷的時間，教師不急于用自己的結論代替學生的思考。適時概括強調在最佳的時間里給出方法的總結、推廣和理論的提升，這對學生正確認識數學，夯實四基，發展數學核心素養，優化學習效果都有重要作用。適時概括的三個著力點分別是考查的知識、思想方法和主要能力，即通過分析條件、結論以及溝通它們的橋梁，得出考查的知識點；通過分析知識點之間的聯系和轉化，得出考查的思想方法和主要能力。

（2）選擇該例題的一個變式訓練，由學生獨立解答，并進行分析講解。

（3）對解決具體問題所需的知識和方法進行小結，關注核心思想的提煉。

環節四：課堂小結

用簡短的語言對學生的學習過程進行小結，重點分析解決問題中形成的基本思維方法、蘊涵在解題過程中的思想方法。

環節五：目標檢測

提供1道目標檢測題，進行限時檢測并反饋。

以上五個環節構成完整的一節復習課。教學從能力測評開始，借助智慧課堂收集學生的測評結果；接著，基于能力分析進行學習診斷，析出具體問題（或小問題、考查問題，下同）；再針對具體問題，選擇典型例題進行精析；然后根據學習情況進行小結，完成復習教學的過程；最后，設計典型例題的變式題進行目標檢測，檢測學生課堂學習效果。每個環節都是為下一環節服務，最后一個環節用于檢測教學目標是否完成，所以每個環節都不能缺少，也不能調整順序。

以問題為導向，復習教學就有了能力標準，將問題分層，按能力劃分層級設計教學，解決了“教什么和學什么”；五環節模式環環相扣，解決了“怎么教和怎么學”；復習教學始于“能力測評”，止于“目標檢測”，兩次檢測的能力差異回答了“教的怎樣和學的怎樣”。

致謝：本文是集體智慧的結晶，特別感謝章建躍博士、白濤博士、郭慧清正高級教師及所有課題組成員。

（黃炳鋒，福州第三中學高級教師，首批福建省中小學教學名師）