給學生一雙數學的眼睛

袁威

荷蘭數學家弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確方法是實行再創造，也就是由學生把本人要學習的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”數學課堂上，與其竭盡全力關注學生知識技能的傳授、策略方法的獲取，還不如讓學生練就一雙數學的眼睛，自己去探尋數學的奧秘，學會從數學的角度觀察世界，認識世界。

敏銳之眼——發現數學知識的形成過程

數學知識的產生、發展和應用過程是一個活動的過程，是一個和實踐具體相結合的過程，其中不僅有步驟、有方法，還有寶貴的經驗，到處充滿了智慧。比如關于三等分角問題的發展，這里面不僅有古代數學家創造的步驟、方法等，還有古代數學家積累起來的關于此問題的豐富經驗，如這個問題是不是可以解，什么情況下可以解，什么情況下又不可以解，解的時候必需什么工具，它和其他兩個希臘幾何難題有什么關系，它是如何促進現代數學發展的，等等。學生學習時，要知其然更要知其所以然。因此，在教學過程中，教師要引導學生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質屬性和規律，從而構建新的概念。

例如，許多老師認為，“平面向量的實際背景及基本概念”一節概念多但不難理解，但章建躍老師等認為其實不然。事實上，從概念的形成的角度看，本節內容重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是獲得數學研究對象、認識數學新對象的基本方法，蘊含了用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑，這是一個帶有本源性質的過程。這里，為了幫助學生建立向量的概念，與數、形的相關概念（數及其運算、直線（段）的平行關系等）類比與聯系是值得重視的。在學生的已有經驗中，與本節內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、0和1的特殊性、線段的平行或共線等，這些將為學生自覺、有序、有效地認知向量概念提供固著點。因此，具體教學時，要設計一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經歷從具體事例（位移、力、速度等）中領悟向量概念的本質特征，類比數的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數的集合認識向量的集合，類比直線（段）的基本關系認識向量的基本關系。通過這樣的過程，學生從中體會到認識一個數學概念的基本套路：從具體背景中抽象出共同本質特征—定義—表示—定義“相等”“單位元”“0元”—某些特殊關系。這樣學生在獲得概念的同時，還培養了抽象概括能力和創新精神，同時也使學生從被動地聽發展成為主動地獲取和體驗數學概念，自主建構知識。

智慧之眼——探尋數學思想方法之所在

數學思想方法往往隱含于數學基礎知識之中，滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。如果能有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在觀察、分析、概括的過程中，看到知識背后承載的方法、蘊含的思想，那么，學生所掌握的知識才是鮮活的、可遷移的，學生的數學素養才能得到發展。

例如，在“對數函數的圖像和性質”一節的教學中，教師可以類比指數函數的圖像和性質，課堂進程環環相扣，引導學生感知、領悟分類討論和類比的思想方法，給學生提供充分的活動機會，幫助他們自主探索、合作交流，從而得出對數函數的圖像和性質。這樣，學生從中捕捉到了數學思想方法的火花，并深入他們的內心世界。

（作者單位：岳陽縣第三中學）