一類壓縮比非一致且具完全重疊結(jié)構(gòu)自相似集的迭代函數(shù)系

潘 儼,姚媛媛

(1.上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,上海 201306)

(2.華東理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200237)

1 引言

研究產(chǎn)生自相似集的所有迭代函數(shù)系起源于圖像壓縮理論,是分形幾何中一個基礎(chǔ)而又重要的問題[1].

豐德軍等在文獻(xiàn)[1]中首先研究了多種條件下一些直線自相似集的最小生成迭代函數(shù)系.對于高維情況,討論主要集中在滿足開集條件或強(qiáng)分離條件的壓縮比一致的自相似集[3,4]或幾類特殊的高維自相似集[5,6].此外,鄧國泰等[7]研究了直線自相似集平移交仍為自相似集時的所有迭代函數(shù)系族等.

以上研究結(jié)果或多或少依賴于某種分離條件.文[8]首次討論了一類具完全重疊結(jié)構(gòu)自相似集的所有迭代函數(shù)系.該類自相似集壓縮比一致且證明討論情況眾多,較為復(fù)雜.本文擬推廣文[8]中結(jié)論,討論一類壓縮比非一致且具完全重疊結(jié)構(gòu)自相似集的迭代函數(shù)系.證明主要依賴于該類自相似集的gap性質(zhì),十分簡潔.

定理1.1設(shè)g(x)=λx+b滿足0<|λ|<1且b∈R.若g(E)?E,則存在正整數(shù)n和i1,···,in∈ {1,2,3} 滿足 g(x)=fi1? ···?fin(x).

2 定理證明

首先需要如下引理和定義.

引理2.1[6]設(shè)是歐氏空間自相似集F的一個迭代函數(shù)系.更進(jìn)一步,假設(shè)對任意自相似壓縮映射f滿足f(F)? F,均存在i∈{1,···,m},使得f(F)? gi(F).設(shè)h是滿足h(F)? F 的一個相似壓縮映射.則存在正整數(shù)n和i1,···,in∈{1,···,m},使得h(F)=gi1? ···? gin(F).

定義2.2稱開區(qū)間(a,b)為集合E中的gap若a,b∈E且(a,b)∩E=?.

定義 2.3 設(shè) i1,···,in∈ {1,2,3},定義 Ei1···in=fi1? ···? fin(E).

定理1.1的證明 首先證明

然后由引理2.1知存在正整數(shù)n和i1,···,in∈{1,2,3}滿足g(E)=fi1?···?fin(E).又E非對稱,故 g(x)=fi1?···?fin(x),定理獲證.

設(shè)E中最大gap長度為A,則該gap位于E2與E3之間且A=1?2b?a(1?b).

由b≤a知E1∪E2中最大gap長度為aA(見下圖).

為證(2.1)式,使用反證法:假定g(E)?E且對任意i=1,2,3,有g(shù)(E)6?fi(E).由于g(E)中最大的gap長度小于A,故g(E)?E1∪E2.注意到E13=E21,從而g(E1∪E2)?E1∪E2=(E11∪E12)∪E2且E11∪E12與E2的距離為aA.由于g(E1∪E2)最大的gap長度小于aA,故g(E1∪E2)是E11∪E12或E2的子集.下面分情況討論.

(1)g(E1∪E2)?E11∪E12.設(shè)ρg為自相似映射g的相似壓縮比,因為g(E1∪E2)?E11∪E12=f1(E1∪E2),故可得|ρg|≤ a.因為E1∪E2不對稱,故若|ρg|=a,則導(dǎo)致g=f1,與假設(shè)不符,故有|ρg|

(2)g(E1∪E2)?E2.下證g(E1∪E2)?E21∪E22或g(E1∪E2)?E23.

假設(shè)上述結(jié)論不成立,則g(E1∪E2)中最大gap的長度不小于E21∪E22與E23的距離,即 |ρg|·aA ≥ bA,從而 |ρg|≥.另一方面,又由 g(E1∪E2)? E2知|ρg|·(b+a(1?b))≤ b,從而(b+a(1?b))≤b,得b(1?a)≤0,矛盾.

下面分別討論上述兩種情況.

情況1 g(E1∪E2)?E21∪E22=f2(E1∪E2).由上式知|ρg|≤b.因為E1∪E2不對稱,故若|ρg|=b,則導(dǎo)致g=f2,與假設(shè)不符,故有|ρg|

情況2 g(E1∪E2)?E23.下證g(E3)?E23.否則g(E)的最大gap長度不小于bA,即 |ρg|·A ≥ bA,推出 |ρg|≥ b. 由 g(E1∪E2)? E23知 |ρg|(b+a(1? b))≤ b2. 從而b(b+a(1?b))≤b2,矛盾.故g(E)?E23?E2,矛盾.

由反證法,(2.1)式獲證.