修正PANS模型在非定常空化流動數值計算中的應用與評價

胡常莉，曹友銓，王學德

（南京理工大學 能源與動力工程學院，南京210094）

0 引 言

空化是發生在水力機械中一種常見的流動現象，往往會產生強烈的噪聲、振動和空蝕[1]。如今，用數值計算的方法來研究空化現象已經比較廣泛，尤其是對云狀空化發展過程中出現的大空泡團脫落的模擬已經取得了一定進展。Shyy[2]，Coutier-Delgosha[3]等人的研究表明：湍流模型對于空化流動的預測有十分重要的影響。目前廣泛采用的是基于雷諾平均N-S方程的渦黏模型，由于發生空化時流動中湍動能產生項和耗散項間的不平衡，采用標準的k-ε模型不能很好地模擬云狀空化[4]。近年來發展了許多混合RANS/LES湍流模型，多位學者研究表明這種混合模型可以較好地應用到空化流動的計算中。黃彪等人[5]應用Spalart[6]提出的分離渦模型（DES），求解了非定常空化流動，達到了較好的效果。Wu等人[2]則將濾波器模型（FBM）[7]應用到了Clark-Y水翼的云狀空化計算中，結果可以捕捉到非定常流動細節。另外，多位研究者將Girimaji[11]提出的基于標準k-ε模型的局部時均化模型（PANS），應用到不同繞流體的空化流動數值計算中，主要討論了PANS模型中不同控制參數fk取值對計算結果的影響[8-10]。

由于Girimaji[11]提出的基于標準k-ε模型的PANS模型歷史較短且有不足之處，近年來有學者對其進行了各種修正及發展，如Song等人[12]用基于k-w模型的PANS模型計算了圓柱繞流的流場并取得了較好的結果；AlaaElmiligui等人[13]借助于混合模型的思想對PANS模型的控制參數fk值進行了修正，應用PAB3D求解器研究了圓柱繞流問題，Hu等人[14]針對空化流動的特點提出了一種基于密度修正的PANS模型并取得較好的結果，Huang等人[15]基于當地網格尺度和湍流尺度對PANS模型進行了修正，并將其應用到后臺階繞流流動中。

在前人的研究基礎之上，本文基于AlaaElmiligui等人[13]的研究，對標準PANS模型的控制參數fk值進行了修正，通過CFX二次開發技術加入到求解器中，模擬了繞Clark-Y型水翼的云狀空化流動，基于數值及實驗結果，評價并討論了該模型的特性。

1 計算模型和數值方法

1.1 基本方程

采用均質平衡流模型，則Favre平均的N-S方程為：

式中：下標i和j分別代表坐標方向，ρm，u和p分別為混合介質的密度、速度和壓強，μ和 μt分別為混合介質的層流和湍流粘性系數。

1.2 空化模型

空化流動計算中，選用Kubota空化模型[16]，其表達式如下：

式中：RB為簡化氣泡半徑；pv為汽化壓強；ρl和ρv分別為液體的密度和蒸汽的密度；αnuc為氣核的體積分數；Fe和Fc分別是蒸發和凝結常數項。Kubota空化模型重點考慮了空化初生和發展時空泡體積變化的影響，適于模擬空化的非定常特性。

許多實驗表明湍動能對空化產生重要的影響[17]，本文采用文獻[17]中提出的方法來計算湍動能k對當地汽化壓強的影響：

汽化壓強采用下式計算：

式中：psat和k分別表示當地飽和蒸汽壓強和流場的當地湍動能。

1.3 PANS模型及其修正

PANS模型的湍動能ku和耗散率εu的輸運方程分別為：

湍動粘度：

其它常數取值分別為：

PANS模型的兩個控制參數分別定義為[12]：

在高雷諾數的流動中，fε值通常取1，當fk=1時，說明湍流控制方程復原到RANS模型；當fk=0時，表示數值計算過程沒有湍流模型的引入，為直接求解的方式。

本研究中，對于fk的取值，考慮到流場中各處的湍流尺度不同，采用（13）式[13]進行計算：

1.4 數值計算方法

1.4.1 計算網格和邊界條件

計算采用Clark-y型水翼，弦長C=0.07 m。圖2給出了計算區域及其邊界條件。由圖2所示，采用速度入口，壓力出口，流動區域上下邊界為自由滑移壁面條件，翼型表面采用絕熱、無滑移固壁條件。攻角設定為8°，空化數設定為0.8，流速設定為10 m/s，雷諾數為7×105。圖3為翼型周圍網格分布圖，對其近壁區域進行了網格加密，近壁面y+值為20～80之間，滿足壁面函數要求。并且為了提高網格的質量，翼型前端的區域采用C型結構化網格劃分，這樣可以較好地匹配翼型頭部的形狀。

1.4.2 無量綱數的定義

計算中的主要無量綱參數為空化數σ、雷諾數Re、升力系數分別定義為：

式中：P∞、U∞和Pv分別為距實驗段上游入口210 mm處參考斷面上的平均靜壓強、斷面平均速度和汽化壓強，Fy是水翼所受到的升力。

2 結果分析及討論

2.1 基于空化流場，對修正PANS模型的特性分析

修正PANS模型可以實現對流場的不同區域采用不同的fk值進行數值計算，即按照不同的湍流尺度，fk值的變化范圍為0到1之間。為了研究fk的取值與空化流動結構之間的關系，圖4給出了基于特征網格尺度Δ=2L的修正PANS模型得到的空穴形態隨時間的演變過程及對應時刻的翼型周圍湍動能和fk值分布云圖。觀察分析各時刻的空穴形態圖及fk值、湍動能分布云圖可知，在翼型吸力面的空化區域存在較大尺度的渦結構，且云狀空化在發展的過程中伴隨著大尺度空泡團的脫落現象，因此相比于遠流場，翼型周圍空化區域的湍動能較大，尤其是翼型尾部的旋渦區域。PANS模型的特點是控制參數fk值越小，流場中可解的湍流尺度越多，因此對于高湍動能區域，需要采用較小的fk值才能模擬出大尺度的湍流結構。由fk值云圖可以看出，修正PANS模型恰好滿足這個特點，即在翼型周圍高湍動能區域對應的fk值較小，而遠流場的fk值較大。圖4中還給出了由標準k-ε模型得到的空穴形態圖，通過對比發現，基于網格尺度Δ=2L的修正PANS模型可以較好地模擬出云狀空化階段翼型尾部的大空泡團脫落現象，這在一定程度上彌補了標準k-ε模型的不足。

為了進一步研究修正PANS模型中控制參數fk的取值與空化流場中湍流尺度之間的關系，圖5分別給出了由基于4種網格尺度的修正PANS模型得到的時均fk值及時均湍流尺度分布云圖。顯然，4種情況下，時均湍流尺度較大的區域對應的fk值均較小，這滿足對流場中大尺度湍流結構的求解要求。由時均湍流尺度分布云圖可知，在翼型的尾部始終存在較大的湍流尺度結構，而在包裹翼型整個空化區域的剪切層內，由于該區域的耗散較大，導致其湍流尺度較小，從而該區域對應于較大的fk值。通過對比4種不同網格尺度的結果可知，網格尺度越小，對整個流場的求解中fk的取值越小。

2.2 修正PANS模型中特征網格尺度Δ的取值對空化流動計算的影響

由上一節的分析可知，修正PANS模型的控制參數fk的取值不僅與流場當地的湍流尺度有關而且受特征網格尺度的影響。因此，本小節主要討論特征網格尺度Δ的取值對云狀空化流動計算的影響。

圖6給出了4種不同網格尺度下的時均蒸汽含量及湍流粘性分布云圖。通過對比可知，時均蒸汽含量隨著所選取網格尺度的減小而增大，相應地，湍流粘性系數則隨著網格尺度的減小而減小。流場中當湍流尺度一定時，網格尺度越小，無量綱化后的湍流尺度λ值越大，結合圖1可知，此時fk值較小，流場中會釋放出較多的湍流尺度，減小了對湍流粘性的預測，從而減小了對空穴的抑制作用。

云狀空化的發展過程具有明顯的非定常特性，圖7列出了4種不同的網格尺度時，修正PANS模型得到的空穴形態隨時間的變化過程并與實驗結果進行了對比。由實驗結果分析可知，云狀空化在一個發展周期內主要經歷的形態特征為：翼型前緣出現附著空穴薄層并伴隨著尾部大空泡團的脫落—前緣的空穴逐漸發展長大，尾部空泡團脫落潰滅消失—反向射流的形成發展，繼而又造成大空泡的脫落。對比數值及實驗結果可知，從空穴的整個發展過程來看，4種網格尺度時，修正PANS模型得到的空穴發展過程均與實驗較一致，而主要的差異在于空穴發展的最大尺度及反向射流的發展過程。具體地，當t0+38%T時，Δ=0.1L的空穴形態與實驗結果吻合較好，結合圖8的空穴體積隨時間的變化情況可知，隨著網格尺度的減小，空穴體積隨時間的波動幅度增大，表現為空穴形態的最大尺度較大。另外，當t0+62%T時，與實驗結果對比可知，當Δ=0.1L時修正的PANS模型更好地模擬出了反向射流向翼型前緣推進的過程。

為了研究網格尺度Δ值對空化流場湍流流動特征的影響，圖9給出了4種不同網格尺度下，圖7中t0時刻對應的瞬時速度等值線圖。由圖7可知，該時刻為云狀空化流動的翼型尾部大尺度空泡團的脫落。從圖9中可以看出，當Δ值較小時，修正PANS模型計算得到的空泡團內部的湍流速度尺度分布較廣且湍流速度脈動明顯，隨著Δ值的增大，流動速度值的分布范圍逐漸減小，湍流速度脈動不明顯。

圖10分別給出了4種網格尺度時，修正PANS模型得到的翼型升力系數隨時間的波動曲線，并將它們一一與實驗結果進行了對比，發現與實驗相一致的是，4種網格尺度時的升力系數曲線隨時間的波動均具有明顯的周期性。對比各曲線的波動細節可知，當網格尺度較大時，修正PANS模型不能釋放出較多的湍流尺度，不足以模擬流動細節，因而升力系數曲線的波動細節不明顯，而隨著網格尺度的減小，升力系數曲線的小波動細節逐漸增多，說明此時修正PANS模型求解了較豐富的湍流尺度，與實驗結果也較接近。

3 結 論

應用一種修正的PANS模型對繞Clark-Y型水翼的云狀空化流動進行了數值模擬，基于數值結果分析了該修正PANS模型的特性，并基于實驗及數值結果討論了網格尺度對該修正PANS模型應用于云狀非定常空化流動計算中的影響，所得結論如下：

（1）修正PANS模型實現了在云狀空化流動計算中其控制參數fk取值的靈活性，減少了對控制參數fk取值的任意性或主觀性，從而在一定程度上推動了PANS模型的發展。

（2）修正PANS模型可以較好地模擬云狀空化的整個發展過程，從翼型前緣空穴的增長到翼型尾部的大空泡團脫落，均與實驗結果吻合較好。

（3）本研究中，修正PANS模型特性不僅與流場當地湍流尺度有關，而且受所選取網格尺度的影響。研究表明，網格尺度較小時，流場中可以計算出的湍流尺度較豐富，從而可以提高計算精度。