有界約束平差模型的變量代換方法

張立艷

(成都農業科技職業學院，四川 成都 611130)

在大地測量及相關領域，隨處可見一些能用不等式約束表示的先驗信息。如在大壩變形分析中，可以根據控制點的位移方向建立形變量的不等式約束[1]；利用GPS進行高層建筑物變形監測時，可以根據雙差觀測值的精度和建筑物的最大形變量構造模糊度的不等式約束搜索空間[2]；在方差分量估計中，所有的方差分量均為正值[3]。合理利用有效的先驗約束信息，能提高參數估計的精度和可靠性。不等式約束平差模型在最優化理論中等價于二次規劃，可以采用起作用集算法、序列二次規劃法和罰函數方法求解[4]。在測量領域，盧剛運用奇異值分解給出了不等式約束平差的最小距離方法[5]。朱建軍將模型參數視作不等式約束區間上服從均勻分布的隨機變量，給出了基于均值、眾數和最小距離的貝葉斯解及其均方誤差[6]。RAO將不等式約束轉化為橢圓約束，采用極大極小準則給出了參數的有偏估計[7]。朱建軍基于罰函數方法給出了不等式約束平差的一種簡單迭代算法[1]。彭軍還將多個不等式約束轉化為單個凝聚約束，將不等式約束平差問題化為等式約束的非線性規劃問題，并推導了參數估計的近似方差、均方誤差矩陣及單位權方差[8]。

將不等式約束最小二乘平差問題轉化為無約束極小化問題，罰函數方法是一種有益的嘗試。凝聚約束方法也可以歸結為求無約束最優化問題的解。以上兩種方法都是對不等式約束條件的轉換。不同于上述對約束條件進行轉換，本文針對模型參數進行變量代換[9-10]，從而將約束最小二乘平差轉化為無約束非線性規劃問題，并采用一種常見的擬牛頓型算法即BFGS方法[11]進行參數估計。

1 有界約束平差模型及有效集方法

在測量數據處理中，一般是將含有誤差的觀測值表示為待估參數的函數，如式(1)中的上式。若預先得到全部或部分參數的上下確界，則可以建立如式(1)的下式所示約束。有界約束平差模型為

(1)

(2)

為了求解式(2)的最優估計值，根據最小二乘準則，在不等式約束的范圍內，令觀測值的誤差平方和最小，從而得到如下的約束最優化問題

(3)

這里給出一種常見的解模型式(3)的起作用集方法。它在每次迭代中，以已知的可行點為起點，把在該點起作用約束作為等式約束，在此等式約束下極小化目標函數，求得新的比較好的可行點后，再重復上述步驟[4]。設在第k次迭代中，已知可行點X(k)，在該點起作用約束指標集為I(k)，解等式約束問題

(4)

模型式(4)可以按照附有限制條件的間接平差模型得到新的最優解X(k′)，然后將X(k′)代入所有的不等式約束條件進行判斷。

(1) 如果X(k′)是可行點，且X(k′)-X(k)≠0，則在第k+1次迭代中，新的已知點取作X(k+1)=X(k′)。

(2) 如果X(k′)不是可行點，則令搜索方向為d(k)=X(k′)-X(k)，并沿著該方向進行搜索。

若迭代結束后，有效約束集對應的所有拉格朗日乘子都大于等于0，則X(k)是模型式(4)的最優解。若存在小于0的拉格朗日乘子，則將拉格朗日乘子取最小值所對應的約束從可行集中刪除后重新迭代計算。

2 有界約束平差模型的變量代換方法

求解約束極值問題時，要兼顧目標函數值下降且滿足約束條件，而無約束極值問題只要求滿足目標函數值下降。因此，約束極值問題的求解比相應的無約束極值問題更為復雜。這里根據有界約束的特殊性，將處于有界約束中的參數進行變量代換，新的變量在整個實數空間中取值，從而將約束極值問題轉換為無約束極值問題。下面給出兩種實現有界約束參數的變量代換方法。

2.1 反正切變換

Xi=Wi1+(Wi2-Wi1)×(arctan(Ui)+π/2)/π

(5)

可以得知式(5)右端項的取值范圍為[Wi1,Wi2]。Ui和Xi的函數關系如圖1所示。

圖1 經反正切變換后新變量與原變量關系

2.2 正弦變換

一般來說，具有上下界的函數，其變換方式并不是唯一的。構造如下的正弦函數

Xi=Wi1+(Wi2-Wi1)×(sinUi+1)/2

(6)

同理，正弦函數的定義域為整個實數空間，而它的值域sinUi∈[-1,1]。式(6)右端項的取值范圍為[Wi1,Wi2]。Ui和Xi的函數關系如圖2所示。

圖2 經正弦變換后新變量與原變量關系

將具有上下約束的參數按照式(5)或式(6)進行變量代換以后，新的變量都是在整個實數空間內取值。然后，將新變量Ui代入式(1)中的上式，得到一個非線性觀測方程，在最小二乘準則下，解無約束非線性極小化問題可以得到新變量的極值，再代入式(5)或式(6)可得到原變量的參數估值。

對于無約束非線性最優化問題，一種常用的方法是擬牛頓方法。它的基本思想是：用不包含二階導數的矩陣近似當作牛頓法中Hessian矩陣的逆矩陣。其中BFGS方法是目前最流行有效的擬牛頓算法，采用BFGS方法求解非線性函數f(x)的極小值的一般步驟為[11]：

(5) 令k=k+1，轉步驟(1)。

對于凸函數的最優化問題，采用精確線搜索，BFGS方法具有全局收斂特性，是一類具有較好數值效果和快速收斂的非線性最優化方法。

3 算例分析

在式(1)中，模擬如下算例

同時附加兩個不等式約束條件：1.20≤x1≤1.30，2.50≤x3≤2.60。設觀測值都為等權不相關觀測值，即觀測值的權矩陣為單位矩陣。當不考慮約束時，最小二乘解為

然后，采用本文提出的新方法，將約束變量分別進行如下變量代換

(7)

(8)

將中間變量分別代入式(7)，可得

同樣，采用正弦代換式進行計算，初始值與反正切代換時相同，經過26次迭代，得到無約束解

將中間變量代入式(8)，可得到與反正切變換完全相同的解，且與起作用集方法的解結果相同。可見，有界約束的變量代換法求解有界約束平差模型是可行的。

4 結論與展望

對于只含上下有界約束且約束間互不相關的一類特殊不等式約束平差模型，本文提出將含有約束的參數進行變量代換，形成無約束非線性最優化問題。采用BFGS算法解上述問題，得到新變量的最優值，進而得到不等式約束最小二乘平差問題的解。但該方法目前只適用于模型參數是有界約束的情況，將該方法擴展到一般不等式約束的情況是下一步研究的方向。