一種基于MTLS優化的非等間距多點灰色變形預測模型

甘祥前,任 超,劉林波,劉中流,楊 慶

(1. 桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西 桂林 541004； 2. 廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004)

變形預測常用的模型主要有傳統灰色預測模型、時間序列分析、回歸分析和神經網絡等[1-4]。這些方法大多為單點建模與預測[5]，而事實上監測工程建筑物的變形狀態都布設有大量的變形監測點，監測點間是相互影響、彼此關聯的，單點的處理沒有利用監測點間相互關系的信息，不足以反映變形體的整體變形趨勢和變形規律[6-9]。因此，在變形監測分析與預報中，使用多點灰色預測模型更為合理。但在實際工程中可能存在非等間距觀測或某幾期缺測的實際狀況，對此，近年來不少學者對非等間距多點灰色變形預測模型進行了研究，其中文獻[10]將單點變形分析擴展到空間多點的整體變形分析，采用非等間距等距化處理的改進方法，建立了非等間距多點變形預測模型；文獻[11]在GIS平臺下結合多變量非等間距灰色預測模型，開發了一套露天礦邊坡災害預警系統；文獻[12]建立了多變量非等間距灰色模型并應用于中國農村青少年生長水平預測。目前，這些方法大多為對非等間距多點灰色模型進行等距化改進或對其背景值和殘差項優化。但是在傳統的非等間距多點灰色預測模型建模過程中，發展系數A和灰作用量B是在最小二乘(LS)約束準則下求解的，而LS在求解參數過程中只是對預測值進行改正，把已知的測量值當作是不含誤差的，因此此時的LS估計就不再是無偏的[13]。為了解決這個問題，本文引入多元整體最小二乘法(MTLS)，MTLS是由整體最小二乘法(TLS)拓展得到的，是將TLS中的參數向量和觀測向量拓展為參數矩陣和觀測矩陣，在計算過程中同時顧及觀測值矩陣和系數矩陣存在的誤差。

1 非等間距多點灰色變形預測模型

1.1 模型的建立

相關聯的多個變形監測點的非等間距原始觀測序列為

(1)

時間間隔ΔTk=Tk-Tk-1，其中i=1,2,…,m，m為變形監測點數目，將多個變形監測點的觀測序列組成矩陣形式

X(0)(T)=[X(0)(T1)X(0)(T2)X(0)(T3)…

X(0)(Tj)…X(0)(Tn)]

(2)

對式(2)進行累加生成X(1)(T)，然后建立n元一階常微分方程組，其矩陣形式為

(3)

利用積分生成變換原理對式(3)進行整理得到響應函數式

X(1)(Tk)=eA(Tk-T1)X(1)(T1)-A-1(I-eA(Tk-T1))B

(4)

最后還原式(4)得到非等間距多點預測模型

(5)

式中，k=1,2,…,m。

1.2 模型精度檢驗

2 多元整體最小二乘及其解法

首先將該矩陣方程改寫

(6)

(7)

式中，eY=vec(EY)為列向量化后的觀測值的殘差向量；eB=vec(EB)為列向量化后的系數矩陣的殘差向量。

利用拉格朗日乘數法對MTLS進行求解，以式(6)為條件，構造拉格朗日目標函數

eY-[Ir?(B-EB)]ξ}

(8)

式中，λ為拉格朗日乘常數；?為克羅內克積算子。對式(8)求一階偏導，令其等于0，聯立方程求解，最后得到

通過迭代，求出最終解，具體迭代步驟如下：

3 實例分析與驗證

本文試驗數據來源于文獻[10]，選取的是某基坑北側邊坡上相互關聯的4個沉降監測點A、B、C、D的觀測數據，并對其進行了整體變形分析與建模。試驗以該4個沉降監測點的13期觀測數據作為樣本進行模型的分析與驗證。

3.1 建模數據為9和建模數據為10的模型預測效果比較

根據本文給出的建模理論，首先分別建立建模數據為9和10的非等間距多點灰色變形預測模型，然后對這兩種模型的預測效果進行比較，分析兩種不同建模數據情況下對非等間距多點灰色模型預測精度的影響。

通過計算，得到兩種不同建模數據下的模型擬合及預測值、預測值平均相對誤差、擬合精度及殘差結果見表1和表2。

表1 建模數據為9的模型擬合及預測結果

表2 建模數據為10的模型擬合及預測結果

通過對表1，表2計算結果的對比分析發現，建模數據為9的模型擬合精度、預測精度、殘差均值都遠遠優于建模數據為10的，說明把第10期觀測數據納入建模數據后，模型受到了較大的擾動，即新增的建模數據中含有較大誤差，再加上模型的分析是整體性的，因此個別帶有誤差數據的引入有可能對模型的預測精度造成很大的影響。針對這個問題，下節給出MTLS優化非等間距多點灰色預測模型的算法。

3.2 MTLS優化的非等間距多點灰色變形預測模型算例

試驗引入MTLS對建模數據為10的模型進行優化，建立MTLS優化的非等間距多點灰色變形預測模型。

根據多元整體最小二乘理論，計算得到MTLS優化模型的擬合及預測值、預測值平均相對誤差、擬合精度及殘差結果見表3。

表3 基于MTLS的非等間距多點灰色預測模型的擬合及預測結果

3.3 不同模型預測結果對比與分析

對表1、表2和表3中的計算結果進行對比分析，得出不同模型的預測結果精度對比見表4。

表4 不同模型的預測結果精度對比

為了更清晰地比較不同模型的預測效果，把實測值和預測值繪制成曲線，如圖1所示。

圖1 不同模型預測效果對比

由表4可知，對于擾動性較大的非等間距多點灰色預測模型，經MTLS優化后模型擬合精度達到1.85，預測值平均相對誤差均值達到4.26%，相比優化前，其模型精度得到了很大提高。通過與建模數據為9的模型對比，MTLS優化后模型的擬合精度雖然低了些，但其預測精度更高。此外通過圖1也可以清晰地看出MTLS優化模型的預測曲線較另外兩種模型更接近于實測曲線。說明多元整體最小二乘法對建模數據誤差起到了很好的抑制效果，并且提高了非等間距多點灰色預測模型的擬合及預測精度，基于該方法優化的模型穩定性更好。

4 結 語

本文在傳統非等間距多點灰色預測模型的基礎上，結合實際工程中多個相關聯沉降監測點的變形觀測數據。首先分別在建模數據為9和10的情況下，建立非等間距多點灰色預測模型，通過對兩者預測效果的對比，發現建模數據為10時，模型的擾動性較大，建模數據存在較大誤差；然后針對這一缺陷，本文提出了用MTLS代替傳統的LS對非等間距多點灰色預測模型中的發展系數A和灰作用量B進行求解。最后通過實例分析驗證，該方法可以有效地抑制建模數據誤差，提高非等間距多點灰色預測模型的擬合及預測精度，適合在變形預測中應用。

雖然本文對改進非等間距多點灰色預測模型的研究取得了一定的成果，但也存在不足之處。文中只與多點非等間距灰色預測模型作對比，而沒有與單點非等間距灰色模型比較，基于整體最小二乘優化的單點非等間距灰色模型預測精度是否更好，本文并沒有給出證實,這有待于進一步研究。