獨辟蹊徑 柳暗花明——淺議初中數(shù)學(xué)解題中換元法的妙用

江蘇省海門市城北初級中學(xué) 沈善珍

隨著教育改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)思想越來越受重視，有關(guān)換元法的研究和運用也取得突破性發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，解答一些復(fù)雜的因式分解問題常用到換元法，即對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項式，如果將其中某些部分看成一個整體，用新字母代替，可以將復(fù)雜問題變得明朗化和簡單化，在減少多項式的項數(shù)，降低多項式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有積極作用。

一、換元法在解決方程問題中的妙用

換元法在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的范圍相當(dāng)廣泛，是一種關(guān)鍵的解題技巧。在證明或解答部分較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，要想找出未知條件與已知條件之間的關(guān)系，或者顯現(xiàn)出隱蔽已知條件之間的關(guān)系，將新知識轉(zhuǎn)化成舊知識，通常離不開換元法的輔助。方程是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要構(gòu)成部分，用換元法求解方程是慣用方法之一，可以快速求出正確答案。

例如，在學(xué)習(xí)“解二元一次方程”時，教師展示題目：已知方程（x2+5x+4）（x2+5x+6）=1，求x的值。解析：在解該方程時，假如采用常規(guī)方法去括號分別相乘之后將會得到一個一元四次方程，這對于初中生來說，顯然超出他們的能力范圍，求解是相當(dāng)困難的。而采用換元法時可以設(shè)x2+5x+4=y，那么x2+5x+6=y+2，原 方 程 可 以 轉(zhuǎn) 變 成 y（y+2）=1， 即 y2+2y=1，y2+2y+1=1+1，（y+1）2=2，y+1=±，y=-1±。所以得到x2+5x+4=-1+，x2+5x+4=-1-，之后求解將會變得相對簡單。同樣，在方程=7x-6中，如果直接去分母的話難度較大，將會得到一元高次方程，很難求解，可采用換元法將原方程適當(dāng)變形，設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)變成2y2-7y+6=0。

上述案例，運用換方法解二元一次方程時，能夠巧妙避免高次方程的出現(xiàn)，在一定程度上有效降低解方程的難度，學(xué)生利用固有的知識和經(jīng)驗即可輕松求解二元一次方程。學(xué)生在應(yīng)用換元法的過程中，深刻感受到換元法給解題與應(yīng)用帶來極大的幫助，從而激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用換元法解題的興趣，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動力的激發(fā)。

二、換元法處理方程組問題中的妙用

方程組屬于方程問題中難度系數(shù)較高的題目類型，在初中數(shù)學(xué)方程組教學(xué)中，換元法的主要作用是將計算量變得簡便。由于部分方程采用常規(guī)方法也能夠求出未知數(shù)，不過計算量較大，容易出現(xiàn)錯誤。為此，初中數(shù)學(xué)教師在具體的教學(xué)實踐中，應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生采用換元法將復(fù)雜的方程組變得簡單化，或者將高次方程組降為低次，從而減少錯誤現(xiàn)象的出現(xiàn)。

比如，在展開“解二元一次方程組”教學(xué)時，教師先羅列方程組：x=2y，x+3y=10；x-2y=6，x+3y=11；2x+3y=7，3x+5y=11；搭配問題：解方程組一般可有幾種方法？學(xué)生將會回答代入消元法和加減消元法；追問：最后一個方程組還可以如何解？以此引出用換元法解方程組的教學(xué)內(nèi)容。接著，教師設(shè)計方程組：解析：在解答該二元一次方程組時，可采用單參數(shù)換元的方法，根據(jù)①，設(shè)2（x+1）=3（y-1）=6k，得到x=3k-1，y=2k+1，將其代入到②中得到5（3k-2）=3（2k+2）-7，解得k=1，即為x=3×1=3-1=2，y=2×1+1=2+1=3，所以原方程組的解是x=2，y=3。之后，組織學(xué)生嘗試練習(xí)解決上述最后一個方程組，當(dāng)堂練習(xí)換元法在解方程組中的應(yīng)用。

在上述案例中，學(xué)生用一個字母來代替原方程中一個較復(fù)雜的代數(shù)式，將原方程作簡化處理，易于求解，不過需要嚴(yán)格按照設(shè)元—換元—求新元—回代—求解—驗根的步驟進(jìn)行。學(xué)生在訓(xùn)練與提升過程中，從方法與實踐中提升對換元法的理解深度，由內(nèi)而外地達(dá)成對換元法的應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

三、換元法在因式分解問題中的妙用

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，多項式的因式分解學(xué)習(xí)起來雖然難度一般，但是涉及的基礎(chǔ)性知識較多，包括加減乘除、平方、代數(shù)式等，學(xué)生需明確因式分解與整式乘法間的關(guān)系，在探索中進(jìn)行新舊知識的比較，理解因式分解的基本方法。換元法是進(jìn)行因式分解的常用方法，深得學(xué)生的喜愛與青睞，初中數(shù)學(xué)教師需指導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用換元法進(jìn)行因式分解。

在進(jìn)行“多項式的因式分解”教學(xué)時，教師設(shè)置題目：分解因式（x2+3x+2）（x2+3x+12）-120。解析：在解答該道題目時，如果先利用乘法公式將原式展開再分解，將會異常困難，直接運用換元法也不太恰當(dāng)。此時，學(xué)生應(yīng)認(rèn)真觀察著兩個式子特征，思考是否可以先分解組合，然后再巧妙應(yīng)用換元法。解：先把原式分解得到（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120，為換元法的應(yīng)用做準(zhǔn)備，組合得到[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]-120， 即 原 式 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）-120。設(shè)x2+5x+4=y，則原式=y（y+2）-120=y2+2y-120，分解這一含字母y的二次三項式得到（y+12）（y-10），即（x2+5x+4+12）（x2+5x+4-10），最終結(jié)果是（x+6）（x-1）（x2+5x+16）。

針對上述案例，在運用換元法之前需要對原式進(jìn)行觀察和分析，再分解和組合，為后續(xù)解題做好鋪墊工作，幫助學(xué)生消除因式分解的畏難情緒，并掌握更加簡便的解題方法?；诂F(xiàn)有問題的思考與分析是最好最快提升學(xué)生分析問題、解決問題能力的關(guān)鍵，換元法也需要教師學(xué)會就地取材、靈活應(yīng)用。

總之，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動中，教師需要獨辟蹊徑，充分認(rèn)識到換元法在解題中的妙用，引導(dǎo)學(xué)生將換元法靈活運用到解方程、解方程組和因式分解等題目中，組織他們在日常學(xué)習(xí)與實踐中不斷總結(jié)與歸納經(jīng)驗，不斷提升他們的解題水平。