以不變應(yīng)萬變——談網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值的基本策略

江蘇省海門市實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 季紅妹

正方形方格中求銳角三角函數(shù)值問題是近幾年中考出現(xiàn)頻率較高的題型，縱觀其呈現(xiàn)方式，一是銳角頂點(diǎn)在格點(diǎn)，二是銳角頂點(diǎn)不在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)）。結(jié)合2018年各地中考題，就解決策略與大家分享。

一、解法探究

（一）角的頂點(diǎn)在格點(diǎn)

1.直接求

（1）（2018·德州）如圖1，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC的正弦值是____。

圖1

∵AB2=BC2+AC2；

∴△ACB為直角三角形；

2.構(gòu)造求

圖2

（2）（2018·貴陽）如圖2，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為________。

解法1：連接BC，則可證△ABC為直角三角形，

∴tan∠BAC=1。

圖3

解法2：如圖3，∵CH∥AF，

（二）角的頂點(diǎn)不在格點(diǎn)

1.移頂點(diǎn)至格點(diǎn)

圖4

（1）（2018·眉山）如圖4，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD=_________。

圖5

解析：如圖5，過點(diǎn)B作BH∥CD，連接AH，

則∠AOD=∠ABH，

過點(diǎn)A作AE⊥BH，

∴tan∠=

2.頂點(diǎn)不移巧構(gòu)造

圖6

解析：如圖6，連接BE，

∵四邊形BCEK是正方形，

∴KF=BF=CF=EF，

∴AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，

∴KO∶CO=BK∶AC=1∶4，

∴KO∶KF=2∶5，∴OF∶KF=3∶5，

二、解后回顧

1.關(guān)注通性通法

張景中先生認(rèn)為“一種方法解很多題，要好過很多方法解一道題”。這種方法即通性通法，因此平時(shí)的教學(xué)過程中，問題解決中通性通法的歸納，對于學(xué)生解題方法的遷移可得到有效提升，對于學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)可得到逐步完善。我們知道，求某個(gè)銳角的三角函數(shù)值，通常是把銳角置于某直角三角形中，因此如何構(gòu)造直角是關(guān)鍵。一是頂點(diǎn)在格點(diǎn)時(shí)，借助相鄰小正方形的對角線互相垂直；二是頂點(diǎn)不在格點(diǎn)時(shí)，通過平移頂點(diǎn)至格點(diǎn)，形成角的轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造出格點(diǎn)直角三角形。由解直角三角形，我們聯(lián)想到解斜三角形的基本策略，即通過作垂直，形成雙直角三角形。因此對于以上問題，我們也可直接構(gòu)造出一個(gè)斜三角形，通過相似與勾股定理求出三角形三邊長，同樣也可達(dá)到解決問題的目的，此法，對于無法構(gòu)造出直角時(shí)，是一種不錯(cuò)的選擇。

2.自主變式思考

基于解法的思考下，我們也可自主嘗試編寫一系列同類問題，落腳點(diǎn)：一是兩線段的位置變化；二是網(wǎng)格增加，改變線段的長度；三是角的呈現(xiàn)方式改變。通過變式思考，可以更好地掌握此類問題的本質(zhì)，即解直角三角形或斜三角形，在方法選擇上也可融會(huì)貫通。

（1）如圖7，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1， 點(diǎn)A、B、C、D、E都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，求∠AEC的正切值。

圖7

圖8

（2）如圖8，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C、D、E都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，若∠CAE+∠DAB=α，求∠α的正切值。

當(dāng)然，以上問題的解決方法還有其他，如建立平面直角坐標(biāo)系，通過“K”型構(gòu)造也可，但我們尋求的還是通過由點(diǎn)帶面，實(shí)現(xiàn)通一題達(dá)一類，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)與路徑。