探究一題多解，培養發散思維——談初中數學發散思維的培養

江蘇省揚州市寶應縣廣洋湖鎮中心初級中學 馬亞允

創新發展是黨的十九大報告中傳遞出的重要信息，這是未來我國人才發展的一個趨勢，也為新時期的教育改革指明了方向。創造性思維是一個人和一個社會智力水平發展到一定高度的“產物”，也是產生更多具有社會意義成果的基石與來源。培養學生創造力和創造性思維成為新時期教育的首要任務，而發散思維則是測定學生是否具有創造力的重要標志，因此借助初中數學的學科優勢，著力培養中學生發散思維，值得每個數學教育者關注。筆者在實踐中發現，引導學生探究一題多解，對于發散思維的培養，思維靈活性激發以及創造性思維的形成具有積極的推動和促進作用。基于此，本文結合具體的教學案例，對此進行了深入研究和全面解析。

一、探究一題多解，發展發散思維

一個問題只能有一種解法的思維定式，導致了中學生思維僵化，很容易在題型稍加變化的情況下出現無解現象。數學是鍛煉學生思維多樣化的一門學科，通過探究一題多解，在讓學生了解到常規解法之后，引導他們再從不同角度對問題進行審視與，找到更多方法，并從中篩選出最優、最佳方案，是幫助他們提高解題效率，培養中學生聚合思維、發散思維等多種思維共同發展的有效途徑。以“多邊形內角和”一課為例。

師：三角形內角和為180度，這是我們都了解的，但是四邊形呢？大家知道嗎？

生1：應該是360度，我們學過的正方形和長方形，它們四個內角都是直角90度，所以內角和是360度。

師：不錯，但這兩種圖形在四邊形中是比較特殊的，不具有一般性。想想看怎樣將特殊問題轉化成一般問題？并由此推測出五邊形和六邊形的內角和。

這時可以鼓勵學生們通過小組合作的形式進行探究，并在討論之后以小組為代表進行發言。

小組1：四邊形可以先連接對角線，使一個四邊形變成兩個三角形，那么從三角形內角和就可以推導出四邊形的內角和。五邊形可以以一個點為頂點，向它對應的兩個角邊接，使一個五邊形轉化成三個三角形，那么五邊形內角和就是3個180度，即540度。

小組2：我們的方法相似，六邊形內角和就是先將它分成四個三角形的內角和相加，即720度。

師：不錯，大家都找到了一個簡單又有效的方法，那么從這個方法中是不是可以將多邊形（假設是個n邊形）內角和進行歸納？

小組3：通過觀察我們通過一個表格進行了歸納。

師：歸納得很到位，那么對于多邊形內角和的解法就沒有別的方法了嗎？

在教師的啟發引導下，學生們繼續更深層次的挖掘和討論。

圖1

小組4：我們還想到了兩種方法，如圖1，一種是可以在n邊形里取任意點和所有頂點進行連接，就能夠得到“180°n-360°=180°（n-2）”。另一種就是在多邊形任意邊上取一點連接所有頂點，可以得到“180°（n-1）-180°=180°（n-2）”。

二、探究一題多用，碰撞思維火花

發散思維一方面是鍛煉學生思維靈活性，讓他們的思維不會停留在某個點或者某個面上，而是能夠跳出思維定式，多方位和多角度地對問題進行思考、分析和解決，在這個過程中完成思維的創造、創新和發展。另一方面是訓練學生思維深刻性，通過“一題多解”和“一題多用”將數學與現實連接起來，讓學生通過舉一反三，體驗數學在解決實際問題時的價值，從而提高對數學的認識。如在探究：“△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于O點，∠A=40°，求∠BOC的度數是多少？”時，就可以通過一題多用對學生進行思維訓練：

圖2

應用①：△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于O點，∠A=a°，如圖2，那么∠BOC的度數是多少？它與∠A之間是否有數量關系存在？

應用②：△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于O點，∠BOC=a°，那么∠A度數是多少？

應用③：△ABC中，∠BCE和∠CBD兩外角平分線相交于O點，∠A=a°，如圖3。那么∠BOC度數是多少？它與∠A之間是否有數量關系存在？

圖3

圖4

應用④：△ABC中，∠ACE外角平分線與∠ABC的角平分線相交于O點，∠A=a°，如圖4。那么∠BOC的度數是多少？它與∠A之間是否有數量關系存在？

結合中學生當前認知能力和水平以及數學思維的遞進性和層次性，秉承逐漸深入、逐步遞進和環環相扣的原則，設計多種題型進行“一題多用”，體現了數學思維的深刻性和嚴謹性，讓學生們由簡到難，由一般至特殊地對題目中隱藏的數學規律進行發現探究，對數學“建模思想”進行了滲透和強化。在這種訓練下，學生們的思維越來越靈活，也越來越深刻，完成了知識理論與實踐應用的融合和統一。

我國教育無可避免地受到傳統教育思想的影響，知識在老師手中一遍遍“填滿”學生腦海，而學生則通過不斷背誦復習讓其成為自己終身記憶，扎實的基礎知識反而束縛了學生的思維與思維，讓他們失去了創造與創新的機會。教育不應該是填滿學生的腦袋，而是要讓他們的思維“飛躍”。在初中數學教學中，“一題多解”的模式是對學生思維最好的訓練，但同時教育者也應該積極探索更好的方法，讓中學生在知識的同化與建構的過程中實現思維的提升與發展。