巧妙構造，解決三角類問題

江蘇省射陽縣第四中學 王 芹

隨著新課改的不斷深入，出題者對于學生的考查不再局限于簡單的解題，而是更多在解題方法上考查。三角類題型作為初中數學中的典型題型，出題者定然下足了功夫，因此，對于學生們來說，就要挖掘其中的解題技巧與解題方法，深入地理解三角形的含義。教師在教學的過程中，要不斷地灌輸學生正確的思維方法，使得學生在解題的過程中能夠養成良好的思路，發散自己的思維，提高解題的效率。

一、中線倍長法

學生們在解題的過程中應該都遇到過中點類的三角形題，這類題有的學生在解題的時候，想著去利用中位線，用其定理，化解難題，但是今天我想告訴學生們的就是在條件或者結論中遇到中點的時候，或者一條線段是另一條線段的二倍時，此時要想到去延長中線的一倍，然后構造出全等三角形，結合條件與結論巧妙地解題。

圖1

例1 如圖1所示，在△ABC中，AB=3，AC=5，試求BC邊上的中線AD的取值范圍。

解析：根據題意，既然要求BC邊上的中線AD的取值范圍，學生們可以打開思路，充分利用中點的性質。延長AD到點E，使得AD=DE，連接BE，由題意學生們易證明，于是有EB=AC，由三角形的三邊關系可知，BEAB＜AE＜BE+AB，即 5-3＜AE＜5+3，所以有 2＜2AD＜8，可知中線AD的取值范圍是AD∈（1,4）。

點撥：本道題中，通過構造了輔助線，將中線AD化解成了ED，然后通過證明三角形的全等，得出AE的范圍，利用中點的性質，最后求出中線AD的取值范圍。短短的一個三角形類題型，通過巧妙的構造，巧添輔助線，化解了難題，大大節省了學生們的解題時間，提高了正確率，可見，這種解題方法將有利于學生們思維的延伸，因此，學生要牢記中線倍長法，合理地化解三角類題型。

二、截長補短法

截長補短法相信學生們一定耳熟能詳，但是學生們要明確用法以及在什么題型下用。當學生們在解題的過程中，遇到題目或者結論中出現一個角是另一個角的二倍，或者一條線段是另外兩條線段的和的時候，這時候就需要巧添輔助線，截長補短，構造全等三角形來解決問題。

圖2

圖3

例2 如圖所示，已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線，試證明：AC=AB+BD。

解析：此處既然談到截長補短法，那么我就分開為學生們講解。首先，運用截長法，如圖2所示，在AC上截取AE，使得AE=AB，連接DE。根據題意易知，∠BAD=∠CAD，易證明△ABD≌△AED，于是有BD=DE，∠B=∠AED，又因為∠B=2∠C，所以就有∠AED=∠EDC=∠C，那么有ED=EC，即EC=BD，所以AC=AB+BD?，F在給學生們講解補短法的思路，如圖3所示，只需要延長AB到點F，使得AF=AC，連接ED。根據前面的截長法，證法相同，可以證明出AC=AB+BD。

點撥：本道題運用了截長補短的方法，給學生們分別演示了截長與補短的做法，相信學生們肯定深有體會，巧妙地添加輔助線，構造三角形，將問題放到三角形中去解決，提高了解題的效率，長期積累，也可以鍛煉學生們的思維能力。

三、巧添平行線

說到幾何圖形，那么平行線不得不說。平行線可謂是初中數學中的重點，對于解三角形類的題型應用的也比較多。學生們在做題的過程中，遇到題目或者結論中出現線段相等或者遇到角平分線時，這時候發現利用三角形全等貌似很難求解，那么就可以通過添加平行線，構造出一個新的三角形，結合條件與結論求解。

圖4

例3 如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且CE=BD，連接DE交BC于點P，求證：PE=PD。

點撥：在幾何圖形證明題中，巧添平行線是常用的手法之一，學生們在遇到題目或者結論中出現線段相等或者遇到角平分線時，一定要想到添加平行線的方法，將復雜的問題簡單化，明確自己的思路，方能又快又好地解題。

總之，在千變萬化的數學題中，掌握住方法，掌握住解題技巧，就能發現數學中蘊含的規律所在，巧解難題。在全等三角形這一塊，學生們要充分利用所學，加強對解題方法的研究，巧妙構造，理清自己的思路，三角問題也就迎刃而解了。