常微分方程求解中常數變易法的應用研究

江蘇聯合職業技術學校無錫交通分院 許瑩霞

方程是數學學科中的重要內容，從初中開始，學生就開始接觸各種各樣的方程，如對數方程、線性方程、三角方程等，這些方程均是將需要進行研究的問題按照已知數與未知數之間的關系來建立方程式，通過對方程式的求解來達到解決問題的目的。但在實際生活當中，也同樣有一些方程與其他方程有所不同，其與實際生活有著密切的聯系，是根據現有數據來對相應的函數解析式進行求解的，而常微分方程便是這類方程之一，隨著常微分方程理論的不斷完善，通過常微分方程能夠對事物的變化規律進行精確的表述，而在對常微分進行求解時，常數變易法無疑是其中最為重要的求解方法。為此，有必要對常微分方程求解中常數變易法的相關應用進行研究。

一、常數變易法簡介

常數變易法是求解常微分方程的有效方法，這也使其在實際應用中得到了廣泛的使用。常數變易法是將常微分方程中的常系數進行替換，進而使其成為待定函數，由該函數來求出常微分方程的解。其除了能夠對常微分方程中的一階線性微分方程求解以外，在其他一階非線性及二階線性常微分方程中也經常能夠被用到。但如何利用常數變易法對其進行求解呢？為此，以下便對常數變易法在常微分方程求解中的具體應用進行研究。

二、常微分方程求解中常數變易法的應用研究

1.常數變易法在一階非線性微分方程求解中的應用

貝努利方程是較為典型的一階非線性微分方程，在對貝努利方程進行求解時，需要對該方程進行轉化，使其成為相應的線性方程，在線性方程轉化完畢后，便可以依據線性方程中的相關求解方法來進行解決，當然，也可以通過常數變易法進行解決，而且能夠達到事半功倍的效果。從貝努利方程的內容來看，要想應用常數變易法，應對貝努利方程中相對應的齊次線性方程進行明確，在明確齊次線性方程以后，便可對其進行轉換，進而求出貝努利方程的通解。例如：已知方程為，該方程便是一階非線性微分方程，在對該方程進行求解時，可依據常數變易法將其進行轉化，使其成為可分離的變量方程，然后再對其進行求解。利用常數變易法可求出該方程所對應的齊次方程，即然后可求出其通解為y=cx，在該方程中將y(x)進行代入計算，由此可以得出進一步轉化可以得出然后通過兩邊積分的方法將v（x）求出，并代入y=v（x）中，由此便可求得該方程的解。

2.常數變易法在二階常系數非齊次線性微分方程求解中的應用

二階常系數線性方程也是常微分方程中的一種，在應用常數變易法來對這類方程進行求解時，具備非常良好的應用效果，它不需要求出非齊方程的特定解，只需通過常數變易法對其中一個與之相關的齊次方程進行解組，就能夠實現對這類方程的求解，從而獲得相應的通解公式。在二階常系數非齊次線性微分方程中，其方程為由該方程可以獲得與之相對應的齊次方程，即從該方程中可以獲得其特征方程，即在該方程中，需要對其復根與實根進行分別分析，第一種情況是當該特征方程中的s為實根時，則可以知道其對應齊次方程中的一個解是根據常數變易法的解決思路，可以將二階常系數非齊次線性微分方程的解進行設定，使其設定為通過對該解進行求導，可以得出相應解的推導方程，將該推導方程與代入該二階常系數非齊次線性微分方程當中，然后進行化簡，由此便可以得出該方程便可作為 的一階線性方程，進而可以得出其通解為根據該一階線性方程的通解，便可以得到該二階常系數非齊次線性微分方程的通解公式，即

3.常數變易法在二階變系數齊次線性微分方程求解中的應用

在常微分方程中，常數變易法在二階變系數齊次線性微分方程的求解中也同樣有所應用，在對二階變系數齊次線性微分方程進行求解時，需要根據其特征方程來求出其特解，并根據求出的特解進一步求得通解。不過，由于二階變系數齊次線性方程內部的系數是一種變量，該變量使該方程難以利用特征方程進行求解，因此必須要通過常數變

本文對常數變易法進行了簡要的介紹，在此基礎上對常數變易法在常微分方程求解中的相關應用進行了探討，明確了常數變易法在常微分方程求解中的具體思路，進而為學生解決常微分方程問題提供了高效的求解方法，使學生能夠通過常數變易法的應用，更加精確地表述事物在變化過程中遵循的基本規律。