等比數(shù)列解題十招式理論與實(shí)踐

薛超群

（福建省寧德市高級(jí)中學(xué)，福建寧德 352101）

引 言

在高中等比數(shù)列教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，結(jié)合教材歸納總結(jié)解題招式，讓學(xué)生用這些解題招式快速解答等比數(shù)列題目。這樣既可以減輕教師工作負(fù)擔(dān)，又可以提高課堂教學(xué)效率，還可以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、解題十招式

筆者從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，結(jié)合教材歸納總結(jié)出解題十招式，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下：

招式一：“借力打力”，在等比數(shù)列中，意為是在基礎(chǔ)之上，再借用項(xiàng)之力。

招式二：“奇（偶）次項(xiàng)同號(hào)”，在等比數(shù)列中，奇（偶）次項(xiàng)同號(hào)。

招式三：“下標(biāo)和”，在等比數(shù)列中，若則 ，即數(shù)列兩項(xiàng)的下標(biāo)和相等可以推出這兩項(xiàng)積相等。

招式四：“等距抓壯丁”，在等比數(shù)列中，“等距離”抽取出的項(xiàng)組成等比數(shù)列，如是等比數(shù)列。

招式五：“切豆腐，糅合”，在等比數(shù)列中，前n項(xiàng) 和，可得也是等比數(shù)列。

招式六：“降龍十八掌”，錯(cuò)位相減法。

招式七：等比數(shù)列四等價(jià)之一，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中為非零常數(shù)。

招式八：等比數(shù)列四等價(jià)之二，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于，其中n≥2。

招式九：等比數(shù)列四等價(jià)之三，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中為常數(shù)，且

招式十：等比數(shù)列四等價(jià)之四，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中為常數(shù)，且

學(xué)生在解題中如能應(yīng)用上述招式，可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，提高解題能力，達(dá)到事半功倍的成效。

二、解題實(shí)例

例 1.已知等比數(shù)列求

分析：在等比數(shù)列中，要求用招式一“借力打力”，得

例2.已知數(shù)列為等比數(shù)列，求

分析：在等比數(shù)列中，要求由招式四“等距抓壯丁”，即在等比數(shù)列中，“等距離”抽取出的項(xiàng)組成等比數(shù)列，如是等比數(shù)列。用招式八“等比數(shù)列四等價(jià)之二，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中n≥2”，可得用招式二“奇（偶）次項(xiàng)同號(hào)”，即在等比數(shù)列中，奇（偶）次項(xiàng)同號(hào)

例3.已知數(shù)列為等比數(shù)列求

分析：已知數(shù)列為等比數(shù)列，求用招式三“下標(biāo)和”，若則即數(shù)列兩項(xiàng)的下標(biāo)和相等可以推出這兩項(xiàng)積相等，得

例4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，前項(xiàng)和已知求

分析：已知數(shù)列為等比數(shù)列，前項(xiàng)和要求用招式五“切豆腐，糅合”，即也為等比數(shù)列，可得即為等比數(shù)列；用招式八“等比數(shù)列四等價(jià)之二，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中 n≥2”，可得

例 5. 已知等比數(shù)列中，求的值。

分析：已知等比數(shù)列中要求的值。由于用招式三“下標(biāo)和”，若即數(shù)列兩項(xiàng)的下標(biāo)和相等可以推出這兩項(xiàng)積相等，得所以原式

例6.已知等比數(shù)列中，是方程的兩根，求

分析：已知等比數(shù)列中，是方程的兩根，可得要求用招式四“等距抓壯丁”，即在等比數(shù)列中，“等距離”抽取出的項(xiàng)組成等比數(shù)列，如是等比數(shù)列，由用招式八“等比數(shù)列四等價(jià)之二，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中可得，得由可得用招式二“奇（偶）次項(xiàng)同號(hào)”，即在等比數(shù)列中，奇（偶）次項(xiàng)同號(hào)，可得

例7.證明：數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中為常數(shù)，且

分析：若數(shù)列為等比數(shù)列，則，設(shè)即得若其中為常數(shù)，且則，其中n≥2，得數(shù)列為等比數(shù)列。

例 8.在數(shù)列中，前項(xiàng)和已知。判斷數(shù)列是什么數(shù)列，求

分析：判斷數(shù)列是什么數(shù)列，用招式十“等比數(shù)列四等價(jià)之四，數(shù)列為等比數(shù)列，等價(jià)于其中為常數(shù)，且，即得數(shù)列為等比數(shù)列。當(dāng)；當(dāng)n=1時(shí)，an=-4·3n-1=-4； 當(dāng) n≥2時(shí)，。綜上，得

結(jié) 語(yǔ)

在等比數(shù)列教學(xué)中，教師從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，結(jié)合教材歸納總結(jié)解題招式，讓學(xué)生用這些解題招式快速解答等比數(shù)列題目，可以減輕教師工作負(fù)擔(dān)，提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力[1]。

[1]全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2007.