發展關系性思維，實現從算術到代數的順利過渡

陳英

由于我校是九年一貫制學校，所以有更多機會與初中數學教師進行溝通交流。不止一次地聽到初中老師反饋，很多剛剛步入初中的學生難以適應數學學習，其中最難的是從算術方法到代數方法的轉變。學生沒有代數的意識，不喜歡也不會用方程解決問題，他們寧愿選擇比較困難的算術法也不去選擇簡易的方程來解開題目。初中老師認為是小學老師太過于強化算術方法，以至于到了初中后，要費很大力氣才能“掰回來”。小學老師則認為把四則運算的學習夯實一些沒有什么不好。學生不用方程解題是因為“設——列——解——答”的步驟太繁瑣，要不是有些題目要求必須用方程解決，就都用算術方法，多簡單??！等以后遇到難題了，學生自然就會選擇用方程解題了。

事實上，小學數學學習與初中數學學習是義務教育階段中一脈相承的兩個學習階段，小學數學是初中數學的基礎，初中數學又是小學數學的延續和擴展。學生從小學升入初中要經歷知識的由淺到深，思維由具體直觀逐步抽象概括的過程。從算術思維到代數思維的過渡無疑是其中最重要的，也是比較困難的方面。

一、從算術到代數，如此之難

針對以上情況，小學數學老師需要反思：學生為什么不愿意用方程解決問題？僅僅是因為用方程解決問題的步驟繁瑣嗎？還是另有原因？還有，等到除了方程“別無選擇”時“被迫”接受，真的為時不晚？

我們先來看看《數學課程標準》的要求，第二學段“式與方程”的內容標準是：1.具體情境中能用字母表示數。2.結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。3.能用方程表示簡單情境中的等量關系（如3χ+2=5，2χ-χ=3），了解方程的作用。4.了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。

接下來，再來看教材中的編排：

北師大版小學數學教材“式與方程”內容分兩部分編排，具體安排如下表：

人教版小學數學教材“式與方程”內容安排在五年級上冊第五單元“簡易方程”，具體內容如下表：

可以看出，教材還是很努力地落實“課標”的要求，循序漸進地滲透代數思想，培養學生用字母表示數、用方程解決問題的能力。

既然“課標”和教材都沒有問題，問題一定是出在了教師的把握和執行上。我們對小學數學教師做了一次調查：你認為小學生在用方程解決問題時遇到的最大困難是什么？79.5%的老師認為困難是“找不到題目中的等量關系，不能正確列出方程”。85.3%的學生也存在同樣困擾。

大慶市小學數學名師工作室全體成員從這個研究背景和現狀出發，申請了全國新世紀研究課題“小學生等量關系學習路徑的研究”。通過研究，我們發現小學生對于等量關系的學習，不是一節課就能全部完成的，學生對“等量關系”這一問題的建模需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深，逐步積累形成的過程。而且，等量關系作為數量關系之中重要的一種，決不能等到學習“方程”之時才去強調，而應在低年級學習中重視數量關系，有意識地培養關系性思維，并適時進行有效指導，發展關系性思維，為學生從算術思維向代數思維順利過渡做好準備。

二、從算術到代數，如此，不難

那么，在小學階段應該如何發展學生的關系性思維呢？接下來，筆者將結合工作室團隊的實踐研究與大家進行分享。

1.調動已有生活經驗，感受數量關系。

研究表明，兩歲或三歲的幼兒就已經表現出一定的數感，也許他們還不知道用數字來描述物體集合，但是他們能分清有兩個或三個物體的集合（Gelman &Gallistel;，1978）。這也說明，幼兒很小時就對生活中的數量有了一定的感知。例如，他們對物體的多少（如圖1-1）、身體的高矮、物品的長短、書本的厚薄、年齡的大小，都有自己的感受。

教師要善于調動學生的已有生活經驗，在感知數量大小的同時感受數量之間的關系。學生根據生活經驗，通過看圖或是實際情境模擬，能夠發現數量間的關系：紅色的繩子比綠色的繩子長（如圖1-2）；老虎比豹子重，獅子比老虎重，所以獅子最重，豹子最輕（如圖1-3）。

小學生經常玩的猜數游戲也能幫助他們感受數量關系（如圖1-4）?！耙恢皇掷镉?個棋子，另一只手里有2個棋子，兩只手合起來有多少個棋子？”“兩只手里一共有6個棋子，一只手里有3個棋子，另一只手里有幾個棋子？”在這個游戲中，學生會感受到其中存在的數量關系，即“兩只手里的棋子數合在一塊兒就等于兩只手里的棋子總數”。感受到這個數量關系，學生往往不需要利用加減法計算，也能夠“看得出”答案的。

2.實物操作具體直觀，發現數量關系。

實物直觀，即實物層面的幾何直觀，是指以生活中實際存在物作為參照物，借助其與研究對象之間的關聯，進行簡捷、形象的思考，獲得判斷的一種能力。學生可以利用實物操作，具體直觀地感知數量之間的關系。例如，在一年級上冊認識1-10以內的數時（如圖2-1），讓學生邊邊撥邊數，這樣，就將這些相互獨立的數字之間的關系建立起來。

在10以內數的比較大小中（如圖2-2），可以利用實物圖片擺一擺，數一數，感受一一對應，感悟數量的多少。學生通過實物或者圖片等替代物操作，知道6只小松鼠與6個盤子一樣多，6只小松鼠比5個勺子多，比7個杯子少。而且學生知道能夠“一一對應”的就說明兩個物體是一樣多的。這也為后續學生認識相等關系即等量關系做好了準備。

3.抓住關鍵信息詞句，理清數量關系。

學生對于信息較多的問題，往往找不出其中的數量關系。這時，教師要適時指導，教給方法，幫助學生學會梳理信息間的數量關系。

例如，在下圖中（如圖3-1），先讓學生說一說圖中的數學信息，然后提出問題：兩隊都上船后，船上還有多少個空座位？教師要引導學生抓住關鍵詞思考：“可乘90人”是什么意思？兩隊都上船后，“還有空座位”說明什么？學生繼續思考，這條船上一共90個座位與這兩隊人數以及空座位之間有什么關系？學生會發現，兩隊人數合起來，再加上空座位的數量，應該正好等于船上的座位總數。

一般情況下，“一共”“還?！钡汝P鍵詞的確能幫助學生快速確定運算方法，但是如果沒有準確把握題目中數量關系，就會適得其反。例如，學習五年級下冊《分數乘法》，遇到下圖中的題目時（如圖3-2），學生出錯率特別高。女生植了20棵樹，男生植樹棵數比女生多■，男生比女生植樹多多少棵？這其中存在著兩個等量關系：女生植樹棵數+男生比女生多植的棵數=男生植樹棵數；女生植樹棵數×男生比女生多植的倍數=男生比女生多植的棵數。很多學生看到了“比……多”，就認為肯定要用加法，于是，用兩步運算求出了男生植樹的棵樹。

因此，教師要及時向學生表明，在一個問題情境中，可能存在著多組數量關系，尋找到已知的信息與要求的問題之間的數量關系，并把數量關系理清了，問題也就迎刃而解了。

4.嘗試運用多種表征，描述數量關系。

把題目中的數量關系理清并描述和表示出來，也非常重要。學生描述數量關系時，可以用語言表達，也可以用圖示表達，還可以用文字式或算式來表示。其中，直觀的畫圖無疑是非常有效的方法。

例如，六年級上冊的“分數混合運算（一）”（如圖4-1），在“興趣小組”情境中，學生發現3個數學信息，并提出問題“航模小組有多少人”。教材沒有急于讓學生列式解決問題，而是讓學生先獨立思考“航模小組的人數與什么有關呢”，接著學生嘗試畫圖表示航模小組與氣象小組、攝影小組之間的人數關系，最后才是列式解決問題。

布魯納認為，在人類智慧生長期間，經歷了三種表征系統的階段。分別是動作表征、圖像表征和符號表征。在低年級表示數量關系時，應鼓勵學生用自己的方式表示，并在合作交流中嘗試讀懂他人的想法，逐步實現從動作表征到圖像表征再到符號表征的抽象提升。

在描述數量關系時，仍然是要關注數學本質，不要太在意學生描述數量關系的方式，而是要關注學生是否已經找到題目中數量關系，能通過自己的方式表達出來，并根據數量關系解決問題。

例如，在一年級下冊《開會啦（比較意義下的減法）》課上（如圖4-2），個別學生列式7+4=11，已經有7把椅子，再添上4把椅子，11把椅子正好夠坐，所以還缺4把椅子；也有學生列式11-4=7，11個人中去掉4個人，就正好夠坐了，說明還缺4把椅子。

這幾名同學都能夠讀懂題目信息，找清題目中的數量關系：現在有的椅子數量+還缺的椅子數量=總人數，并根據這個數量關系進行計算，正確解決了問題。所以，我們應該允許學生用自己的方式表達，不能強迫學生必須列式為11-7=4。另外，列式為7+4=11的學生，他們已經有了方程的萌芽。已經有7把椅子，再添上幾把椅子，就正好是11把椅子了？7+（）=11，只不過因為數目比較小，可以直接想出結果罷了。

這樣，教師不強迫學生統一為“規范”的減法算式，生硬地將這一點代數思維扼殺在萌芽狀態，學生就不會到了高年級都“一刀切”地在只會“逆向”算術，不會“順向”方程。

5.綜合運用解決問題，豐富數量關系。

在學生對數量關系有了充分的認識，并能借助四則運算解決一些實際問題后，開始學習字母表示數和認識方程，并嘗試用方程解決實際問題。在后續的學習中，教師要繼續在解決問題中發展學生的關系性思維。

例如，在學習了“平行四邊形的面積”后，如何根據給出的平行四邊形的面積和高計算圖形的底呢（如圖5-1）？要先找到題目中的等量關系，即計算公式“平行四邊形的面積=底×高”。由于同一個等量關系可以有不同的表達方式，也考慮到除法是乘法的逆運算，推出“底=平行四邊形的面積÷高”。根據這個關系，學生可以用除法解決問題。學生也可以用字母表示平行四邊形的底，直接根據計算公式列出方程來解決。

在一些不適合學生逆向思維的問題情境中，我們不建議學生用算術法來解決。例如：在“分數除法（三）”一課中（如圖5-2），根據題目中的信息，學生借助畫圖理解題意并尋找到等量關系是“參加活動總人數×■=跳繩人數”。我們鼓勵學生順向思維，根據等量關系用方程解答。

我們發現，學生對數量關系的感覺和經驗越來越豐富，就能更容易理清數量關系，解題也就越容易，也就越發地接近數學本質。這也是“課標”中只明確提出了小學需要學習的兩個常見的數量關系“總價=單價×數量”“路程=速度×時間”的原因。

例如，“相遇問題”中（如圖5-3），數量關系是一致的：淘氣步行的路程+笑笑步行的路程=淘氣家到笑笑家的路程。還有一個數量關系，也是小學階段重要的數學模型：路程=速度×時間。根據題目中的信息及數量關系，學生很容易列出方程。這其中，學生不用再去記憶“速度和×相遇時間=路程”“路程÷速度和=相遇時間”等這些所謂的公式了。

事實上，算術法解題與用方程解題這兩種方法，我們不用太過于糾結它們的區別，更不應該一廂情愿地提醒學生去選擇。我們完全可以從聯系的視角出發，引導學生發現數量關系是一樣的，只是選擇了不同的形式解題而已。當學生體會列方程解決問題是對算術法解決問題的延伸后，從算術到代數之間的也就不存在什么“不可逾越的鴻溝”了。

縱觀數學課程內容體系，可以說，有“數量”的情境就存在著“數量關系”，就需要理清“數量關系”。正是在解決這些問題的過程中，學生豐富著對數量關系的認識，積累著尋找和理清數量關系的經驗，逐步建立和發展著關系性思維，從算術到代數順利過渡，最終實現“學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界”，使發展小學生數學核心素養成為現實。

（作者單位：大慶市萬寶學校）

編輯/魏繼軍