“悟”：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的應(yīng)有學(xué)程

潘本圣

“悟”字，不難解釋，有感悟、領(lǐng)悟、覺(jué)悟的含義.林清玄用拆字法，把“悟”字解釋為“獨(dú)對(duì)我心”，在學(xué)習(xí)中，代表著問(wèn)題解決時(shí)思維的有效參與，也就是我們父母一直叮嚀的“用心學(xué)習(xí)”.“悟”是學(xué)習(xí)的一種過(guò)程、一種狀態(tài)、也是一種境界，學(xué)習(xí)輕松者一定擅長(zhǎng)“悟”.尤其是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，“悟”是最經(jīng)濟(jì)的、有效的、簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)之道，“題不在多，擅悟就行！”，新授課學(xué)習(xí)時(shí)，我們通過(guò)一些相關(guān)的情境學(xué)習(xí)新知識(shí)、新方法，但由于當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)是漸進(jìn)的，自然缺乏整體的、全局的認(rèn)識(shí)，我們可能只是在某個(gè)方向上是“懂了”，習(xí)得的知識(shí)、方法呈“點(diǎn)”狀，這需要我們一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后進(jìn)行“復(fù)習(xí)”.所謂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就是將知識(shí)和方法連點(diǎn)成線，將它們內(nèi)化為“知識(shí)鏈”、“方法鏈”，甚至展線成塊，將它們內(nèi)化為完整的“知識(shí)塊”、“方法塊”，這一內(nèi)化的過(guò)程我們稱之為“悟”.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一個(gè)重要部分就是以題帶出概念和方法，應(yīng)該說(shuō)不同的內(nèi)容復(fù)習(xí)的重點(diǎn)不同，因此復(fù)習(xí)方法也有差別.下面我們以解析幾何題為例，和同學(xué)們交流如何“悟”.

1.“悟”，辨別方向

如果我們只是從單一角度去領(lǐng)悟，我們可能就會(huì)陷入一種思維定式，可能就會(huì)讓“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”和“方法網(wǎng)絡(luò)”缺失結(jié)點(diǎn)，我們的思維就會(huì)不通暢.因此我們有必要思考該類問(wèn)題有哪些解決方向，在嘗試中辨別，在多向的比較中“悟”出適合白己的方法.

我們知道，解析幾何的核心就是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，因此需要我們將條件中的信息“加工”為代數(shù)形式，最后轉(zhuǎn)化成方程（組）或函數(shù)問(wèn)題.

對(duì)于第（2）問(wèn)，由于題目中的信息多，加工的方向就多了起來(lái)，此時(shí)我們往往是首先確定基本量.

方向1 在第（1）問(wèn)的引導(dǎo)下，采用“設(shè)點(diǎn)，滿足方程”，而不采用“聯(lián)立方程組”.將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)作為基本量：

設(shè)點(diǎn)A（χl，yl）、B（χ2，y2）、C（χ3，y3），因?yàn)槿c(diǎn)在橢圓上，得：

觀察上述的6個(gè)方程，只有④，⑤是一次形式，將它們變形為

全局地觀察不難發(fā)現(xiàn)：⑦平方+2倍的⑧平方，可得：

明顯地，方向2的運(yùn)算要復(fù)雜些，原因是缺乏全局的、整體的眼光，但思路比較清晰.

2.“悟”，學(xué)會(huì)聯(lián)系

本題可以看成是前一題的變式，它們均可采用“以整體的、全局的視角把握方程思想”。

3.悟，嘗試歸類

問(wèn)題3 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A，（-α，0），A2（α，0）（α>O）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m，求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系.

將問(wèn)題1進(jìn)行一般化，并給出兩道類似的題目，請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試在解題中領(lǐng)悟.