小船渡河問題賞析

劉小蘭

一、合運動與分運動的區分

1.合運動：實際表現出來的運動為合運動，即直接看到的運動.

2.分運動：不能直接看到，它是合運動的兩個不同的效果.

小船在流水中渡河時，同時參與兩個運動：自身的劃行運動和隨水的漂流運動，其對應速度分別為：（1）小船劃行速度，也稱船在靜水中速度，或稱小船相對水的速度，其方向為船頭指向；（2）小船漂流速度，其大小和方向都與水流速度相同，小船的實際運動是以上兩運動的合運動.

二、處理方法

求解小船渡河類問題，常用方法是把小船的運動進行分解，再利用運動合成與分解規律解題.小船運動的分解方法有兩種：（1）把船的運動分解為船劃行方向的運動和水流方向的運動，若圖1所示.（2）把船的運動進行正交分解，也就是把船的運動分解為垂直河岸的運動和沿河岸方向的運動.

例1 一小船從碼頭A航行到碼頭B，設小船在靜水中從A到達B的時間為t.，如果水是流動的，水流方向如圖2所示，且小船相對水的速度不變，小船仍沿原路線從碼頭A到達碼頭B的時間為t2，則下列關于兩者關系中正確的是

（）

A.t1> t2

B.tl

C.t1= t2

D.無法確定

解析 小船在流水中渡河時，若要沿原路線到達碼頭B，則小船劃行方向應發生改變，本題中，根據水流方向可以判斷小船應朝上游劃，如圖2所示，由于小船的劃行速度大小不變，劃行方向與河岸的夾角變小，劃行方向的分位移變大，故渡河時間應變長，答案選B.但須注意，本題中渡河時間盡管變化，并不是說明渡河時間與水速有關，原因是船的劃行方向改變引起的，如果船的劃行速度（即速度大小、方向）不變化，不論水速如何變，都不會改變渡河時間.

【點評】本題是劃行方向的改變導致渡河時間的變化，可巧妙地把船的運動分解為船劃行方向的運動和水流方向的運動，方可快速解題.

三、渡河時間最短

根據合運動和分運動的同時性可知：小船在流水中渡河時間（t合）應等于小船在靜水中渡河時間（t 分），故小船在流水中渡河時間取決于河寬及船劃行速度大小與方向，而與水流速度無關.

設河寬為d，小船在靜水中的速度為 v船，水流速度為 v水，如圖3所示.將船對水的速度沿平行河岸方向和垂直于河岸方向正交分解.沿平行河岸方向的速度不影響渡河的快慢，小船渡過河的時間與垂直于河岸方向的速度有關，當小船垂直河岸渡河時時間最短，

即最短時間為t_min=d/v船.

例2 河寬60 m，小船在靜水中的速度恒為3 m/s，水流速度與船離河岸距離的變化關系如圖4所示.求：

（1）小船渡河的最短時間是多少？

（2）小船在河中航行的最大速度是多少？

解析 （1）當船頭垂直于河岸航行時渡河用時最短，有

【點評】渡河時間與船相對靜水的速度及河寬有關，而與水流速度無關，水流速度只是對合運動或船到達對岸的位置有影響.

四、渡河位移最小

分兩種情況進行討論：

（1）當v船>v水 時，在小船渡河過程中，將船對水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如圖5所示.當小船沿平行河岸方向的分速度與水速大小相等，方向相反時，即v1= v水，小船的合速度v2 就沿垂直河岸方向，這時渡河到達對岸的位移最小，s_min=d.而渡河時間

（2）當 v船

如圖6所示，設船頭v船 與河岸成θ角.合速度v合 與河岸成α角.可以看出α角越大，船漂下的距離x越短.那么，在什么條件下α角最大呢？以船的出發點A為起點沿河岸做v水 的速度矢量，以v水 的矢端O為圓心，v船 為半徑畫圓，當v合 與網相切（切點為C）時，α角最大.

設船頭方向（與OC平行）與河岸的夾角為θ，則速度為4m/s，水流速度為2m/s.求：

（1）小船是否可以垂直到達正對岸？若可以，船頭應沿什么方向？

（2）若水流速度為4 m/s，小船在靜水中的速度為2 m/s，則其能過河的最短航程是多少？

解析 （1）由于v船 >v水，故小船可垂直河岸方向渡河，此時小船渡河位移最小.

五、渡河速度最小

如圖7所示，航向指定地點航行，則合速度v的方向已經確定.設v與河岸下游成α角，水速v水 的大小和方向是確定的，則當 v船的方向與v的方向垂直時v 船 的值最小.這時v船 與河岸上游夾角為θ=arccos v船/v水，小船渡

河的最小速度為 v船=v水sin α.

【點評】在“出發點、目的地”均確定的情況下，可用矢量三角形法確定最小航速.

其實處理小船渡河問題的方法還有很多，若同學們能牢牢抓住渡河過程中小船參與的兩種運動的特點及其關系，就可以正確、簡單、迅速地進行求解.