豎直平面內圓周運動實例分析

楊春貴

豎直平面內的圓周運動一般是變速圓周運動，運動的速度大小和方向在不斷發生變化，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置一一最高點、最低點和水平位置.豎直平面內的圓周運動一般可以劃分為這兩類，豎直（光滑）圓弧內側的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，可化為豎直平面內輕繩類圓周運動；汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內的（光滑）圓環內運動，小球套在豎直圓環上的運動等，可化為豎直平面內輕桿類圓周運動.

例1 飛機俯沖拉起時，飛行員處于超重狀態，此時座位對飛行員的支持力大于所受的重力，這種現象叫過荷.過荷過重會造成飛行員大腦貧血，四肢沉重，暫時失明，甚至昏厥，受過專門訓練的空軍飛行員最多可承受9倍重力的支持力影響.取g= 10m/s2，則當飛機在豎直平面上沿圓弧軌道俯沖速度為100 m/s時，圓弧軌道的最小半徑為 （）

A.100 m

B.111 m

C.125 m

D.250 m

解析 飛機俯沖到最低點時支持力最大，根據牛頓第二定律有

例2 如圖1所示，在質量為M的物體內有光滑的圓形軌道，有一質量為m的小球在豎直平面內沿圓軌道做圓周運動，A、C兩點分別為軌道的最高點和最低點，B、D兩點與圓心O在同一水平面上.在小球運動過程中，物體M靜止于地面，關于物體M對地面的壓力Ⅳ和地面對物體M的摩擦力方向，下列說法中正確的是

（）

A.小球運動到4點時，N> Mg，摩擦力方向向左

B.小球運動到B點時，N> Mg，摩擦力方向向右

C.小球運動到C點時，N>（M+m）g，地面對M無摩擦

D.小球運動到D點時，N=（M+m）g，摩擦力方向向右

解析 小球在A點時，球對M的作用力在豎直方向上，系統在水平方向不受力的作用，所以沒有摩擦力的作用，選項A錯誤；小球在B點時，需要的向心力向右，所以M對球有向右的彈力，對M受力分析可知，地面要對物體有向右的摩擦力的作用，在豎直方向上，由于沒有加速度，物體受力平衡，所以物體M對地面的壓力N= Mg，選項B錯誤，同理可知選項D錯誤；小滑塊在C點時，滑塊的向心力向上，所以C對物體M的壓力要大于C的重力，故M受到的球的壓力大于mg，那么M對地面的壓力就要大于（M+m）g，選項C正確.

例3 如圖2甲所示，輕桿一端固定在（）點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動.小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F -v2圖象如圖乙所示.則 （）

例4 如圖3所示，半徑為R、內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B，以不同的速度進入管內，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點時，對管壁下部的壓力為0. 75mg，則A、B兩球落地點的距離為多大？

例8 如圖9所示，質量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑.某同學拿著該盒子在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，問：

（1）要使盒子在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子做勻速圓周運動的周期為多少？

（2）若盒子以第（1）問中周期的1/2做勻速圓周運動，則當盒子運動到與圖示球心O點位于同一水平面位置時，小球對盒子的哪些面有作用力，作用力為多大？