伽利略變換在相對運動中的應用

金年慶

運動的合成與分解是處理曲線運動的基本方法，其中速度的合成與分解互為逆運算，都遵循平行四邊形定則.

教材中利用紅蠟塊在豎直的玻璃管中的運動展示了運動的合成問題，引出了合速度是兩個分速度的矢量和.速度的合成是由兩個已知分速度合成為一個合速度，速度的合成具有確定性.對一個確定的速度也可以進行分解，速度的分解是速度合成的逆運算.由一個確定的速度分解成兩個分速度具有任意性，分速度與合速度滿足平行四邊形定則的矢量關系.

與速度的合成與分解不同，相對運動速度關系也是矢量運算的關系，但不能按任意方式進行.相對運動中速度的關系滿足伽利略速度變換v絕對=v相對+v牽連，即絕對速度是牽連速度與相對速度疊加或合成的結果.伽利略速度變換也滿足矢量運算規則，但是牽連速度和相對速度是兩個參考系之間速度關系的反映，在對兩個不同參考系間的速度變換時，必須根據兩個參考系間速度的關聯關系來確定速度變換.伽利略變換中的絕對速度只能由相對速度和牽連速度合成，而不能將絕對速度“分解”為牽連速度和相對速度，與速度分解不同，絕對速度與牽連速度和相對速度的關系不是“分解”關系，不具有任意性.

首先以小船渡河為例說明，研究對象是小船，參考系有兩個，絕對參考系——河岸，相對參考系——水.

①絕對速度——船對岸的速度；

②相對速度——船對水的速度；

③牽連速度——水對岸的速度.

速度矢量運算公式：v船對岸=v船對水+v水對岸，遵循平行四邊形定則和三角形法則.

例1 河寬以d表示，船的劃行速度以v1表示，水流的速度設為v2，v1>v2，求渡河的最小位移.

解析 船相對岸的速度即為船的實際速度v，根據伽利略變換

v船對岸= v船對水+v水對岸

即v=vl +v2

cosθ=v2/v1，渡河位移最小為d.

變式1：如圖2所示，民族運動會上有一個騎射項目，運動員騎在奔馳的馬背上，彎弓放箭射擊側向的固定目標M.假設運動員由A點沿AB方向騎馬奔馳的速度為v1，運動員靜止時射出的弓箭速度為v2，直線跑道離固定目標M的最近距離為d，要想在最短的時間內射中目標（不計空氣阻力和重力影響），則運動員放箭處和射箭方向應該為（）

A.在B處射出，箭頭指向M

B.在B處射出，箭頭指偏向A點的方向

C.在AB間某處射出，箭頭指向M

D.在AB間某處射出，箭頭指向垂直于AB方向

解析 研究對象是箭，絕對參考系為地面，相對參考系為馬，根據伽利略變換，v箭對地= v箭對馬+v馬對地.要想在最短的時間內射中目標，箭對馬的速度v2垂直于AB方向，同時使箭的實際速度v的方向對準固定目標，如圖3所示.可得射出時的位置距B點的距離x為，x=d v1/v2，所以正確選項為D.

答案D

例2 某人騎自行車以10 m/s的速度在大風中向東行駛，他感到風正以同樣大小的速率從北方吹來，實際上風的速度是 （）

A.14 m/s，方向為北偏西45。

B.14 m/s，方向為南偏西45。

C.10 m/s，方向為正北

D.10 m/s，方向為正南

解析 首先弄清各個速度，以風為研究對象，絕對參考系為地面，相對參考系為人，絕對速度為風相對地的速度 v風，相對速度為風對人的速度v，牽連速度為人相對地的速度 v人·如圖4所示.

答案A

例3 玻璃生產線上，寬9m的成型玻璃板以2 m/s的速度連續不斷地向前行進，在切割工序處，金剛鉆的割刀速度為10 m/s，為了使割下的玻璃板都成規定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道方向應控制為____，切割一次的時間為____.

小結：相對運動速度關系也是矢量運算的關系，同樣遵循平行四邊形定則，但與速度的合成與分解有本質的不同.運動的合成與分解都是指同一物體的運動，例如課本上紅蠟塊的例子，紅蠟塊的運動可以分解為水平方向和豎直方向兩個分運動，同時兩個分運動還可以合成為紅蠟塊的實際運動.本文中的例子都是不同物體的運動，不好直接合成，更談不上分解了，但可以借助伽利略速度變換公式來求解.應該公式解題的關鍵是熟練掌握公式，找準研究對象，弄清絕對參考系（一般取地面）和相對參考系，正確認識絕對速度、相對速度和牽連速度.