策略教學(xué)讓“解決問題的策略”走向深刻

徐軍

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從三年級開始，就單獨設(shè)立了“解決問題的策略”，這是國內(nèi)所有小學(xué)數(shù)學(xué)教材中所獨有的。這一內(nèi)容旨在讓學(xué)生到六年級結(jié)束時，能理解從條件想、從問題想、列表整理、畫圖整理、一一列舉、轉(zhuǎn)化等解決問題的一般策略。這樣安排是為了更好地讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，在獲得分析問題和解決問題的基本方法的同時，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識。但在實際教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)很多一線教師只是將過去應(yīng)用題的教學(xué)方法簡單移植到策略教學(xué)中來，把策略等同于一種解題方法或解題技巧來教學(xué)，這顯然背離了“解決問題的策略”的設(shè)置初衷。因此，策略教學(xué)有必要走向深刻，從數(shù)學(xué)的特有屬性出發(fā)，融思想與方法為一體，將現(xiàn)實進行抽象，讓方法更加多維，并提煉出模型，最終使策略再回歸到現(xiàn)實。

一、從形象到抽象，遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律

抽象是數(shù)學(xué)的基本思想之一，數(shù)學(xué)通過抽象有了研究的對象與研究對象之間的關(guān)系。策略形成過程的載體就是抽象，其是讓學(xué)生在現(xiàn)實問題情境中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性的外部情境，得到共同的、本質(zhì)屬性的一般方法，再經(jīng)過思想層面的提煉而得到的。

對于小學(xué)生而言，策略一詞比較深奧，所以策略的教學(xué)過程必須依靠可以直觀的抽象過程。如線段圖整理策略的教學(xué)，就可以從形象直觀的示意圖出發(fā)，再逐步抽象出線段圖。

教學(xué)中，筆者讓學(xué)生根據(jù)三個類似的情境經(jīng)歷了三次畫圖的過程：小寧有3張郵票，小春有4張郵票；小寧有300張郵票，小春有412張郵票；小寧和小春有72張郵票，小春比小寧多12張。

第一個情境里，學(xué)生畫出了三種不同的圖（圖1）。有的學(xué)生用“〇”表示一張郵票，有的學(xué)生用“ ”表示一張郵票，也有極少數(shù)學(xué)生畫出了最右邊的線段圖。在交流過程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對前兩種圖理解得比較透徹。最后一個圖，雖然有“3張”和“4張”的張數(shù)說明，但因為比較抽象而讓大部分學(xué)生不能接受。

第二個情境里，學(xué)生在前一次畫圖的基礎(chǔ)上，畫出了兩種圖（圖2）。這一次學(xué)生自動舍棄了用“〇”來表示郵票，一致認(rèn)為這種方法雖然清晰但因為張數(shù)太多導(dǎo)致畫起來太麻煩，所以改用線段來表示郵票的張數(shù)，同時也因為張數(shù)太多，確定標(biāo)注“300張”與“412張”的重要性。在比較的過程中，學(xué)生因為最后一個圖的簡約而喜歡上了它。

畫圖策略的核心是通過圖形幫助學(xué)生整理信息，更主要的是讓學(xué)生能在圖中直觀地表示出數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系。因此在學(xué)生認(rèn)識并接受抽象的線段圖之后，筆者又讓學(xué)生根據(jù)第三個情境經(jīng)歷了第三次畫圖（圖3）。學(xué)生在隨后的畫圖過程中，發(fā)現(xiàn)第二幅圖能更清楚地表示兩者之差與二者之和的關(guān)系。

縱觀學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，四年級的學(xué)生對直觀圖有了非常深刻的理解，并能用符號代替實物畫圖，甚至還能在直觀圖中運用對應(yīng)思想厘清數(shù)量間的相差關(guān)系或倍比關(guān)系。因此在教學(xué)時，筆者遵循學(xué)生已有的認(rèn)知，根據(jù)學(xué)生自我需求，讓學(xué)生經(jīng)歷多次畫圖的自我探究過程，從具象的示意圖到了抽象線段圖，并在線段圖中感受數(shù)量之間的關(guān)系。

二、從一維到多維，彰顯深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

蘇教版數(shù)學(xué)教材編委侯正海老師在對“解決問題的策略”進行修改說明時說，蘇教審定版在修改時曾想過將策略改成方法，但因為策略的提法比方法更加上位，內(nèi)涵更廣，教學(xué)的意義更加深遠(yuǎn)，所以教材還是沿用實驗版的叫法，稱解決問題的策略。的確，策略包含方法，而且一種策略可以包含多種方法， 所以策略的教學(xué)就應(yīng)是在多種方法中提煉策略的本質(zhì)核心，以多種解題方法的呈現(xiàn)、辨析、聯(lián)系、歸納為軸心，深挖策略的本質(zhì)意義，從而表露出策略的內(nèi)涵。

“一一列舉”是蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊所教學(xué)的一種策略，其要求學(xué)生根據(jù)不同實際問題的特點，通過合乎邏輯的思考，不重復(fù)、不遺漏地列舉出符合要求的各種情況。可以說，列舉的含義是很淺顯的，操作也不算復(fù)雜，而且學(xué)生在學(xué)習(xí)這個內(nèi)容之前已經(jīng)有了很多列舉的實踐經(jīng)驗。所以，五年級教學(xué)列舉策略就應(yīng)讓學(xué)生接觸到列舉的多種方式，讓學(xué)生理解不同情境下的列舉方式的多變，感受列舉的多維性，從列舉的多種方式、多個角度挖掘列舉策略的深意，積累策略解決問題的經(jīng)驗。因此，在教學(xué)時，筆者設(shè)計了一組需要用“列舉”策略來解決的問題：

1.用1、2、3和小數(shù)點可以組成哪些不同的兩位小數(shù)？

2.南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4只球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

3.王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃。有多少種不同的圍法？

三道題目，雖然都應(yīng)用列舉的策略，但與之相匹配的方法是不一樣的。第一題比較適合最基本的文字列舉方式：1.23、1.32、2.13、2.31、3.12、3.21；第二題適合畫圖列舉的方式（圖4）；第三題適合列表列舉的方式（圖5）。

但學(xué)生在練習(xí)時，會因為前一題方法遷移的影響，在解答后面一題時不由自主地采用前面的列舉方式，如第二題有的學(xué)生會采用文字列舉的方式（圖6），第三題采用畫圖的方式（圖7）。

接下來的課堂交流中，學(xué)生通過不同方式的對比，感受到列舉的方式可以多樣，但不同的情境會有相應(yīng)的方法，從而感悟出在用列舉策略解決問題時，需要根據(jù)題目的特點選擇合理的方式列舉。

三、從題型到模型，追尋學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義

數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是一個人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界。這里的數(shù)學(xué)語言就是數(shù)學(xué)模型，是指在現(xiàn)實情境中把握一類問題的本質(zhì)與規(guī)律，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述出這些本質(zhì)與規(guī)律，并用合適的數(shù)學(xué)符號表達出本質(zhì)與規(guī)律，最后讓數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實世界的一種路徑。學(xué)生學(xué)習(xí)策略的目的就是為了更好地讓數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實世界，所以提煉各種策略所蘊含的模型就成了策略教學(xué)必須經(jīng)歷的一個重要過程。

同時，學(xué)好數(shù)學(xué)的目的是為了更好地生活，但解決生活問題與解決數(shù)學(xué)問題相比，則會因為生活的涉及范圍雜亂無章、線索千頭萬緒，導(dǎo)致解決現(xiàn)實問題的思維頭緒復(fù)雜。所以，要讓解決問題的策略能回歸到現(xiàn)實中來，且能應(yīng)用自如，就必須在策略形成過程之中提煉出簡約的模型，用簡潔的思維線索結(jié)構(gòu)去突破現(xiàn)實情境束縛，用程序化、模式化的數(shù)學(xué)思考代替繁雜的生活思考。因此，策略教學(xué)要從注重題型的教學(xué)向提煉模型的教學(xué)轉(zhuǎn)變，將學(xué)生從解題技巧的訓(xùn)練拉到策略思想提升的層面上來。如蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級教學(xué)的“從條件想起”與“從問題想起”策略，題目的類型是多樣的，可以是歸一問題型，也可以是歸總問題型，甚至還可以是工程問題型等。不同的類型，解題的技巧與方式肯定不一樣。如果把教學(xué)的視角定位在此，那學(xué)生只能奔波于枯燥的解題中，不去思索數(shù)學(xué)的現(xiàn)實應(yīng)用價值。因此，教學(xué)時我們可以提煉“從條件想起”的策略模型（圖8），以幫助學(xué)生建立如何收集對應(yīng)信息一步步地解決問題的程序；提煉“從問題想起”的策略模型，以幫助學(xué)生建立根據(jù)需求收集相關(guān)信息解決問題的程序（圖9）。當(dāng)然，這兩種模型看上去形式差不多，但在本質(zhì)上卻有著很大差別，從條件想的模型既是思考的程序，又是解題的程序，而從問題想的模型只是思考的程序，解題的程序恰恰與其相反。所以在對兩種策略作對比時，我們有必要與學(xué)生一起提煉出模型，幫助他們高效地使用這兩種策略。

課堂中提煉策略模型，不僅是為了幫助學(xué)生更快地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，更是為了讓他們認(rèn)識、表達解決這類問題的方法。

策略意識的培養(yǎng)是一個重要而復(fù)雜的工程，但教材中所呈現(xiàn)的只有少數(shù)幾個最基本的策略而已。因此，我們在教學(xué)中需要研究教材的編排意圖，抓住這些題目的內(nèi)在本質(zhì)，輕題型教學(xué)，重策略的提煉，讓策略教學(xué)走向深刻，從方法、意義、應(yīng)用角度對策略進行全面的闡述，讓學(xué)生經(jīng)歷整個策略的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程，為學(xué)生能自主探究其他策略奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻

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[責(zé)任編輯：陳國慶]