找準“基點”，讓探究真正發生

車文勝

[摘 要]數學課程標準倡導“自主探索”的學習方式，要在小學數學課堂中真正落實，只有多關注學生的原認知，抓住學生學習的生長點。以“多邊形的內角和”的教學為例，論述如何讓“真探究”在數學課堂中悄然而生。

[關鍵詞]多邊形的內角和；真探究；基礎點；生長點

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0010-03

安徽省蕪湖市利民路小學汪宏執教的“多邊形的內角和”一課，榮獲了全國小學數學專業委員會第十三屆課堂教學觀摩評比一等獎。這節課就是憑借學生在課堂中“真思考”、“真探究”，贏得了全場教師、專家評委的贊譽。下面就對這節課進行深入剖析。

一、以“問題”為基點，激發探究的欲望

“問題”的設置直接影響學生思考的方向。以“問題”為牽引的教學，能順利地激發學生的探究欲望。

“多邊形的內角和”導入環節：

師（出示一組三角形（如圖1））：這組三角形有什么不同點？又有什么相同點？

（學生暢所欲言）

師（提煉學生感受）：每個三角形的內角大小不一樣，但每個三角形的內角和都是180°，變中有不變，圖形真奇妙。

師（出示一組四邊形（如圖2））：這組圖中存在‘變中有不變的現象嗎？（直接揭示四邊形各內角與內角和的關系）

（學生幾乎都能感受到：雖然這組四邊形各內角不相等，但每個四邊形的內角和都是一樣的——360°）

師：這兩組圖形都存在“變中有不變”的現象，對此你有怎樣大膽的猜測呢？

（學生自然會猜想“五邊形、六邊形等多邊形的內角和是否是個定值，如果是定值，又是多少？”從而燃起探究的欲望）

汪老師設置的三個問題，以學生的認知為基礎，環環相扣，學生在體會“變中有不變”數學思想的同時，產生了探究多邊形內角和的強烈欲望。

二、以“嘗試”為基點，體驗探究的歷程

《義務教育數學課程標準》（2011年版）有關“目標”的描述特別強調過程性行為動詞“經歷”“體驗”“探索”，這三個行為動詞，都是在探究活動中發生的，為的是讓學生在活動中獲得不同層次的認識。

“多邊形的內角和”這一課中設計了讓學生獨立完成探究五邊形內角和這一環節，這是建立在學生已經獲得了探究三角形和四邊形內角和經驗之上的。學生已有的研究方法是測量、剪拼、分割，因此，他們在探究五邊形內角和時能準確地選擇分割法，而且呈現的方法是多樣的。

學生研究的結果（如圖3）：

在課堂教學中，只有充分相信學生，給學生獨立思考、獨立嘗試的時間和空間，教師不“越位”，學生才能“到位”，才能充分開動腦筋，充分經歷探究的過程。

三、以“分類”為基點，尋求探究的目標

“分類”的數學思想就是把研究對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，從而解決問題，其實質是把問題分而治之，各個擊破，綜合歸納。因此，分類討論是培養學生有條理地思考的良好數學思維品質的一種重要而有效的方法。

“多邊形的內角和”這一課設計了“分類”這一環節，即把研究五邊形內角和的計算方法進行分類，標準不同分類結果也不同（如圖4）：只有三角形一種圖形的為一類，不僅僅含有三角形的為一類。

學生喜歡這種分類的原因是研究后兩個的五邊形只用畫一條輔助線，簡單。

汪老師及時給出另一組圖形（如圖5）讓學生討論。

學生在討論中得出，之前所想的分類方法不是解決多邊形內角和的一般方法，于是找到了探究的目標——找到解決多邊形內角和通用的方法，自然回歸到第一種方法：只有一種簡單的基本圖形——三角形這一類值得研究。“第一類的方法中也有多種情況，哪種情況才是一般方法呢？” 汪老師話鋒一轉，引導學生觀察圖形的變化，自然過渡到下一個環節的教學。

這一環節的設計，讓學生在經歷分類探索活動的過程中，以分類為“基點”，體會“分類”的數學思想，明確探究目標：找出求多邊形內角和的一般方法。

四、以“觀察”為基點，化歸探究的結果

觀察是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺活動。培養學生的觀察能力，旨在讓學生通過觀察，分析事物之間的關系，提高學生的分析、思考、概括、歸納能力。

“多邊形的內角和”這一課設計了幾何圖形“動點”的移動這一環節（如圖6）。

隨著“動點”的移動，“動點”的位置發生變化，圖形也發生變化。

第一次移動，“動點”在五邊形內任意移動（如圖7）。汪老師問：“這時怎樣求五邊形的內角和？”學生觀察后回答：“用5個三角形的內角和減去1個周角。”

第二次移動，“動點”移至五邊形的邊上（如圖8）。汪老師問：“你發現了什么？”學生回答：“動點移至邊上，五邊形的內角和是4個三角形的內角和減去1個平角。” 汪老師接著問：“你還想把動點移到哪里？又發現了什么？”學生聽了都躍躍欲試，都想把“動點”移至五邊形的各頂點處（如圖9），這樣五邊形的內角和就是3個三角形的內角和了。

通過移動“動點”，讓學生在觀察中思考，在思考中歸納，得出：“動點”位置越特殊，解決問題的方法越簡單。學生在數形結合的思想下，欣賞著圖形變化之美的同時順利找出解決問題的一般方法。

五、以“推理”為基點，建立探究的模型

“歸納推理”是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。

“多邊形的內角和”這一課采用了不完全歸納法（如圖10）。

在填寫表格的過程中，學生找出了多邊形的邊數與含有三角形個數之間的關系，合情推理出多邊形內角和的計算模型為（n-2）×180°。

推理思想、模型思想在當今信息化、數字化和大數據時代得到了進一步的重視。本課以“推理”為基點，探究多邊形內角和的一般公式“（n-2） ×180°”，從而建立數學模型。這一把現實情境數學結構化的過程就是一個從直觀到抽象的過程。

六、以“聯想”為基點，延續探究的激情

“聯想”屬于想象的一種，由一個事物想到另一個事物，聯想依附于橫向思維、縱向思維和發散性思維。

“多邊形的內角和”的結課階段，汪老師出示五邊形（如圖11）。

王老師問：“你認為凹五邊形的內角和與凸五邊形的內角和一樣嗎？怎樣探究？”再出示凹十二邊形（如圖12），“凹多形的內角和是否與凸多邊形的內角和一樣呢？”

探究了凸多邊形的內角和后，再出示凹多邊形的兩幅圖，很容易使學生從凸多邊形的內角和探究的過程和結果聯想到凹多邊形的內角和探究的過程和結果，甚至聯想到凸多邊形和凹多邊形外角和的情況。學生通過知識的正向遷移，產生豐富的聯想，延續了探究的激情，拓展了思維。

總之，在小學數學課堂教學中落實自主探索的學習方式，需要以學生的認知結構為基礎，只有抓住學生的學習生長點，凸顯數學本質，才能讓學生真思考、真探究。

（責編 金 鈴）