利用開普勒定律研究拋物線軌跡天體的運動時間
——以第34 屆全國中學生物理競賽復賽試題第2題為例

蒲存瑤 李 裔 楊 浩 蘭小剛

(西華師范大學物理與空間科學學院,四川 南充 637002)

1 引言

天體運動及相關知識是物理競賽的考察重點之一,涉及橢圓、拋物線、雙曲線等多種運動軌跡.[1,2]這其中由于橢圓具有很多特殊性質,因此處理橢圓軌跡天體運動時間的途徑比較靈活多變,學生也較為容易提出解決方案.但對于拋物線軌跡天體,由于此類曲線不閉合,求解其運動時間則相對復雜些.往往需要借助微、積分等高等數學方法:首先求出位移與時間的微分關系,再對時間和位移分別積分.該方法對中學生來說是比較困難的.[3,4]接下來,我們以2017年第34 屆全國中學生物理競賽復賽試題第2題為例,先簡要介紹下利用積分求解拋物線軌跡天體運動時間的方法.再詳細介紹我們提出的一種基于開普勒定律,運用初等數學知識,求解拋物線軌跡天體運動時間的方法.

2 題目

(a) (b)

(1) 彗星先后兩次穿過地球軌道所用的時間;

(2) 彗星經過C、D兩點時速度的大小.

已知積分公式

-2a(x+a)1/2+C,

式中C是任意常數.

解法1:由于彗星的運動軌道為拋物線,其具有偏心率為1,機械能為0的性質,即

ε=1,E=0.

(1)

故彗星繞太陽運動的軌道方程為

(2)

根據彗星繞太陽運動過程中機械能守恒,[5]可得

(3)

(3)式中,V(r)=-GMm/r為系統的引力勢能.

當彗星運動到近日點A時,其徑向速度為0.設其到太陽的距離為rmin,由(3)式得

(4)

由(4)式及題設條件,可得近日點距離為

(5)

由(3)式還可得到

(6)

設彗星由近日點A運動到與地球軌道的交點C所需得時間為Δt,對(6)式兩邊積分,并利用(5)式得

(7)

對(7)式應用題設給出的積分公式,可得

(8)

便可求得彗星由近日點A運動到C點所用時間,其中RE、G、M皆為已知常數,最后根據對稱性分析,可知彗星兩次穿過地球軌道所用的時間為T=2Δt≈6.40×106s.

3 進階研究

上述求解方法要求學生必須具備一定的微積分知識,且積分過程比較繁瑣.盡管在題設中已給出相關不定積分公式,但由于本題求解過程和涉及的表達式較為復雜,學生在解題過程中很難得到與參考公式形式一致的不定積分公式.此外,就解題思路而言,絕大多數中學生也不習慣采用此類分析方法.接下來,我們提出一種基于開普勒定律,結合初等數學知識,處理此類問題的方法.

首先,由開普勒第二定律可知:行星與太陽的連線(矢徑)在相等的時間內掃過相等的面積,[6]即vrsinθ=常數.因此,可利用彗星先后經過地球軌道上(C、D兩點),并相對太陽所掃過總面積Se與彗星單位時間掃過面積Sv的比值,來計算彗星先后經過地球軌道所用時間Δt.

如圖1(b)所示,彗星經過C、D兩點相對太陽掃過面積,可視為拋物線弓形區域面積(S△eDA)與三角形CDS面積(S△CDS)之差,即

Se=S△eDA-S△CDS.

(9)

由阿基米德拋物弓形面積算法可知:[7]對于任意拋物線,若A是頂點,CD是垂直于對稱軸的弦,則拋物線與弦CD圍成弓形的面積就是△CDA面積的4/3倍.具體到本題中,即

其中

S△CDA=AE·CE,S△CDS=SE·CE.

(10)

令∠CSA=α,則SE=CS·cos(π-α)=-REcosα,將A、C點位置矢量代入曲線方程,可得cosα=k/RE-1.由此可得到以下關系

(11)

由(9)～(11)式,得出

(12)

(13)

由(12)、(13)式求得彗星先后兩次穿過地球軌道所用時間為

(14)

代入相關數據,得出結果Δt≈6.40×106s.

4 總結

天體運動一直是高中物理競賽的考察熱點.但對于沿拋物線軌跡運動的天體,學生往往覺得比較棘手.其中一個重要的原因就是:對于拋物線這類非閉合曲線,學生缺乏足夠的高等數學知識,來研究此類天體的運動規律.本文中我們提出了一種研究拋物線軌跡天體運動時間的方法,在求解過程中,充分的運用了中學生熟悉的開普勒定律,也不會涉及微、積分運算.本方法為研究拋物線軌跡天體的運動規律提供了一種新思路.

此外,原參考答案中的第(3)式的表述形式,容易讓學生產生誤解:是否可以將動能表示為徑向分量與切向分量的形式?但實際上,動能是標量,不能夠分解.因此我們建議先將該式表示為

(15)

再分別把徑向速度和切向速度代入上述表達式,得到相關結果.這樣顯得更為嚴謹.