2018年北京高考物理第24題解析及其教學啟示

吳廣國 鄒 斌

(1. 北京景山學校,北京 100006; 2. 中央民族大學理學院,北京 100081)

在普通高中物理課程標準(2017年版)中提出的物理課程基本理念,特別強調要注重體現物理學科本質,培養學生物理核心素養.并且新課程標準認為高中物理教學需要格外注重課程的時代性,關注科技進步和社會發展需求.反映當代科學技術發展的重要成果和科學思想,培養學生的社會參與意識和社會責任感.[1]2018年北京高考第24題以“中國天眼”世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST為背景素材,[2]通過對相關知識的介紹,考查考生通過新情境獲取信息,思考并解決問題的能力.

點電荷的電場強度與對應球面面積矢量的點積稱為電場強度通量(簡稱電通量).在無源的球面上,電通量是一個守恒量.在此基礎上,延伸到同一球面單位面積接收的來自天體電磁波功率與望遠鏡正對球面大小有關的思想,引導考生理解地球上不同口徑的望遠鏡觀測同一天體其接收的功率應該與它的接收面積成正比.最后與100m望遠鏡相比,其靈敏度大大提高,引導學生建立空間電磁輻射的物理模型,并從理論上大致預測FAST能觀測到的目標天體的數目.試題設計巧妙,逐步引導考生領悟場和通量等基本物理概念.

1 2018年高考理綜卷(北京卷)物理第24題原題

第24題原題如下.

(1) 靜電場可以用電場線和等勢面形象描述.

(a) 請根據電場強度的定義和庫侖定律推導出點電荷Q的場強表達式;

圖1 正點電荷Q的電場線和等勢面

(2) 觀測宇宙中輻射電磁波的天體,距離越遠單位面積接收的電磁波功率越小,觀測越困難.為了收集足夠強的來自天體的電磁波,增大望遠鏡口徑是提高天文觀測能力的一條重要途徑.2016年9月25日,世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST在我國貴州落成啟用,被譽為“中國天眼”.FAST直徑為500 m,有效提高了人類觀測宇宙的精度和范圍.

(a) 設直徑為100 m的望遠鏡能夠接收到的來自某天體的電磁波功率為P1,計算FAST能夠接收到的來自該天體的電磁波功率P2;

(b) 在宇宙大尺度上,天體的空間分布是均勻的.僅以輻射功率為P的同類天體為觀測對象,設直徑為100 m望遠鏡能夠觀測到的此類天體數目是N0,計算FAST能夠觀測到的此類天體數目N.

2 對2018年高考理綜卷(北京卷)物理第24題的解析和評述

(1) (a) 在距Q為r的位置放一電荷量為q的檢驗電荷.根據庫侖定律檢驗電荷受到的電場力

(1)

由電場強度的定義

(2)

得

(3)

(b) 直觀的解答方法:因為球對稱,所以穿過兩球面的電場線的條數相等,設為N0,則穿過兩等勢面單位面積上的電場線條數之比

(4)

深究本小問的物理科學本質,該小問十分巧妙地考查了電場強度通量(以下簡稱電通量)這一物理概念.

首先,高中物理教學一般會向學生介紹磁通量這一概念,并且考生也應該知道通過某一平面的磁通量的大小,可以用通過這個平面的磁感線的條數的多少來形象地說明.高中所講的面積是平面的面積,磁場也是勻強磁場.類比于磁通量的概念,我們同樣也可以用通過某個平面的電場線的條數多少來形象地描述通過該平面的電通量的大小.

其次,雖然本題的電場強度不是勻強電場,并且面積還是球面面積,但是題目巧妙設定了正點電荷激發的電場,由球對稱性可知這種電通量正好等于電場強度大小乘以相應位置球面的面積.注意電場強度和面積都是矢量,電通量為這兩個矢量的點乘,考慮球對稱性,矢量點乘可以變成標量乘積的形式.則單位面積上通過的電場線條數與該點對應的電場強度大小成正比.所以利用第(3)式,該小問又可以解答為

(5)

需要說明的是,利用真空中靜電場的高斯定理

(6)

可以計算閉合曲面電通量.由該定理可以很明顯地看出,(4)式中穿過閉合球面的電場線條數正比于球心處的點電荷Q大小除以真空中的介電常數,即

(7)

所以教師可以從高斯定理入手,深刻理解(4)式的計算過程,挖掘其物理學科的本質.

(2) (a) 設直徑為d=100 m望遠鏡,FAST望遠鏡的直徑D=500 m.設該天體輻射功率為P0,該天體到地球望遠鏡的距離為L.一般可以認為天體輻射的波前為球面,來自某天體的電磁波到達地球時單位面積上的輻射功率乘以望遠鏡的“物鏡”面積,就是望遠鏡能夠接收到的功率,即

(8)

(9)

所以

(10)

即P2=25P.

(b) 探測器在探測信號時都有一個測量閾值,即單位時間內接受到的能量為Pt,望遠鏡接收到的功率小于該閾值Pt將不會被探測到.2018年高考理綜卷(北京卷)的考題提到,“為了收集足夠強的來自天體的電磁波,增大望遠鏡口徑是提高天文觀測能力的一條重要途徑”,也就是說題目主要考慮增大望遠鏡口徑這種單一因素來提高儀器的觀測能力,默認兩種望遠鏡的測量閾值相同.

圖2 正入射的天體A和斜入射的天體B示意圖

題干設宇宙大尺度,天體的空間分布均勻,并僅考慮輻射功率為P的同類天體.這樣的理想化描述意味著在計算第(2)問全過程中都需要假設,在宇宙大尺度上天體輻射能量不會衰減,且不考慮廣義相對論的影響.

設d=100 m的望遠鏡面積為S0,直徑D=500 m的FAST望遠鏡的面積為S,設能夠剛好探測到的天體A(正對于望遠鏡“物鏡”的天體,如圖2所示)到兩個望遠鏡的最大距離分別為L0和L. 對于直徑為d=100 m的望遠鏡的測量閾值為

(11)

同樣,對于直徑D=500 m的望遠鏡,其測量閾值為

(12)

由題意分析知,兩種望遠鏡的測量閾值相同,有

(13)

所以

(14)

考慮望遠鏡可以適當轉向所要觀測的空域,并且地球是在不斷的自轉.這樣,即使原本不正對望遠鏡的天體B可以通過適當的辦法讓它正對望遠鏡.在一定的時間范圍內(比如說1天),我們可能實現對宇宙全空間的探測(以望遠鏡為球心,立體角為4π).此時,一個望遠鏡能觀測到的此類天體數目正比于以望遠鏡為球心、以最遠觀測距離為半徑的球體體積(這是非常理想的情況).即能夠探測到的宇宙空間體積之比為

(15)

考慮在宇宙大尺度上天體的空間分布是均勻的,有

(16)

得N=125N0.

對上述結果我們可以作如下兩個方面的進一步探討.

① 南仁東教授在“FAST 的進展”一文中提到位于北半球的FAST的天頂角為40°.[2]即使考慮地球自轉的運動,實際上FAST也很難做到對全空域進行觀測.在這種情況下,FAST觀測的空域體積與其所能觀測的最大距離L是什么關系呢?

我們暫時僅考慮地球自轉的情況.考慮到地球自身的半徑遠遠小于L,所以可以把地球看成一個質點,作為球坐標系的原點.這里我們以地球赤道平面為球坐標系的xOy面,以指向北極星的地軸為z軸正方向,如圖3所示.考慮到望遠鏡可以在地球經線方向上作適當的調整,以利于觀測,所以在剖面圖上望遠鏡的測量范圍可以認為是一個扇形,如圖3中陰影部分所示.我們不妨假設FAST能探測到的同類天體位于球函數坐標β≤θ≤γ范圍內,用Matlab軟件可以畫出立體示意圖,如圖4所示.在圖4中,各坐標軸上的數值均以L為單位.

在球坐標系下很容易計算出,這種情況下FAST觀測的空域體積為

(17)

由上式可以看出,β≤θ≤γ范圍基本不變的情況下,觀測的空域體積與最大距離L3次方成正比.

圖3 地球自轉使得FAST能探測到的空域剖面圖

圖4 地球自轉使得FAST能探測到的空域立體示意圖

即使進一步考慮地球公轉的因素,因為地球的公轉軌道半徑依然遠遠小于FAST觀測的最大距離L,所以還是可以把繞太陽公轉的地球看成質點,上述推導過程和結論保持不變.

② 如果認為望遠鏡是靜止的,即不考慮望遠鏡適當可以轉向和地球的運動,或者考慮在很短的觀測時間內(如1min內),望遠鏡還沒有調整觀測方向,此時望遠鏡能觀測到的同類天體的范圍是什么樣的,其對應的體積還與L3或者L03成正比嗎?

為此我們以FAST觀測為例,假設有一輻射功率也為P的天體B相對FAST不是正對的. 同樣不考慮廣義相對論的影響,相對于輻射天體B的望遠鏡“物鏡”平面的有效平面面積為Scosα,如圖2所示.則在同樣距離下,FAST接收到的來自于天體B和天體A輻射功率是不相同的.可以大致判斷出來,隨著α角的增大,望遠鏡能夠觀測到的輻射功率均為P的最遠天體的距離在減小.

以下簡略地給出這種理想情況下FAST可以觀測到的天體范圍和數目.考慮到天體A在FAST的正上方,距離設為L,天體B在其斜上方,到FAST的距離設為l.天體A和天體B均為FAST所能探測到的最遠同類天體.則有

(18)

整理得

L2cosα=l2.

(19)

設FAST所在的位置為坐標原點,其正上方為z軸正方向,望遠鏡“物鏡”平面為xOy面,在圖2中設向右為y軸正方向.我們不妨先在yOz平面討論問題,由幾何關系可以看出,當y>0,z>0時B的坐標與距離l的三角函數關系為

y=lcosα,z=lsinα.

(20)

且有

(21)

將(20)式中的兩式平方并相加,然后與(21)式一起代入(19)式中,整理得到

(22)

利用Matlab軟件畫出(22)式的函數曲線,如圖5所示.

圖5 靜止的FAST所能探測到最遠天體范圍的二維剖面圖

假設FAST靜止,其探測的同類天體相對于z軸為旋轉對稱的.所以靜止的望遠鏡能觀測到的輻射功率P的同類天體最遠范圍為類似一個雞蛋形狀的立體圖形,如圖6所示(利用Matlab軟件繪制).在圖6中,FAST處于坐標原點處,各坐標軸上的數值均以L為單位.

圖6 靜止的FAST看到的具有相同輻射功率的最遠天體范圍示意圖

考慮對稱性,圖6的立體圖形在某個z高度的切面為圓形,圓的半徑r可以由(22)式給出

(23)

則最遠天體范圍的體積可以通過積分得到

(24)

即該體積依然與L3成正比,(16)式中N=125N0的結論依然是成立的.

由以上的討論中可以看出,如果孤立的、靜止的看待望遠鏡探測問題,將使第(2)題(b)的解答過程陷入困境,相關數學工具可能也是高中學生并不掌握的.只有考慮望遠鏡可適當進行調節,并且假設望遠鏡可以進行全空域的觀測這種理想情況存在,將第(2)題(a)小問中以天體為幾何中心轉變為(b)小問中以望遠鏡為幾何中心,轉換解題思路,才能比較快速地解答2018年北京高考壓軸題的最后一問.

3 教學啟示和總結

本題第1問根據基本物理規律庫侖定律和電場強度的定義來求解空間點電荷電場強度的表達式,題目較為簡單.而電場線條數背后隱含著電場強度通量這一概念,這里更是用靜電場的問題在隱含考查靜磁場的相關概念.在教學過程中,特別要注意基本物理概念和規律的學習,引導學生多思考電場和磁場的異同點,深刻理解“場”這一重要的物理概念.

第2問(a)中,其實已經引導著我們得出,望遠鏡的面積變大,會使同一個天體輻射到達望遠鏡的功率變大.而作者認為(b)中最核心的信息為① 在宇宙大尺度上,天體的空間分布是均勻的,這就告訴我們天體個數與體積成正比; ② 望遠鏡等探測儀器探測到天體是有一個測量閾值,原來能有輻射到達小面積的望遠鏡而無法被探測到,面積大了以后,接收到的能量達到閾值后就能夠被探測到,從而增加探測到的天體數目.

閾值的思想和概念在考試題目中并沒有給出,對考生來說,這也是本題需要格外注意的地方.在日常的教學過程中,如何使學生能夠理解并掌握這種物理本質?這不是通過做了多少題目能夠訓練出來的.比如我們在學電流時,知道有安培、毫安、微安、納安甚至皮安等電流的單位,那如果我們用普通實驗室的電流表能否測出1 nA的電流呢?顯然對于任何測量儀器來說,有一個測量閾值的概念存在.再比如我們用歐姆表的×10 k擋位來測量電阻值約是10.0 Ω的電阻,顯然該擋位的測量閾值偏高,所以我們才需要去換較小檔位進行測量.

總之,在學生獲得知識的過程中,特別要注重基本物理概念和物理規律的形成和建立的過程,深刻理解引入物理概念和規律的必要性.對于基本的物理實驗器材和設備,要切實理清其根本原理和物理本質,這也是注重物理學科的時代性,關注科學前沿與科技進步的基礎和前提.

4 致謝

作者感謝與中央民族大學學科教學(物理)專業2017級胡禔臻同學的有益探討,感謝中央民族大學應用物理學專業2015級廖琨同學繪制了最遠天體范圍的二維剖面圖和立體示意圖.